Interpolointikaavat

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5. lokakuuta 2016 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Interpolointikaavat - matematiikassa kaavat, jotka antavat likimääräisen lausekkeen funktiolle interpoloinnilla eli asteisen interpolointipolynomin kautta , jonka arvot tietyissä pisteissä ovat yhtäpitäviä funktion arvojen kanssa nämä kohdat. Polynomi määritellään ainutlaatuisella tavalla, mutta tehtävästä riippuen se on kätevä kirjoittaa erilaisiin kaavoihin. $f(x)$ $P_n(x)$ $n$ ${\displaystyle x_{0},\;x_{1},\ldots ,x_{n))$ ${\displaystyle y_{0},\;y_{1},\ldots ,y_{n))$ $f$ $P_n(x)$

Lagrangen interpolaatiokaava

Funktio voidaan interpoloida segmentille Lagrange-muotoon kirjoitetulla interpolointipolynomilla [1] : $f$ $[x_{0},x_{n}]$ $P_n(x)$

P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}y_{k}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots ( x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{ 1})\ldots (x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\ldots (x_{k}-x_{n})}},

kun taas virhe interpoloimalla funktio polynomilla [2] : $\f(x)$ $\P_n(x)$

|f(x)-P_n(x)|\le \frac {\|f^{(n+1)}(x)\|} {(n+1)!}\cdot \|\Pi_n(x) \|, \qquad \Pi_n(x)=(x-x_0)(x-x_1) \ldots(x-x_n).

Todellisten jatkuvien funktioiden avaruudessa vastaavat normit ovat muotoa:

\|f^{(n+1)}(x)\|= \max_{x \in [x_0,x_n]}|f^{(n+1)}(x)|, \qquad \|\Pi_n (x)\|=\max_{x \in [x_0,x_n]}|\Pi_n(x)|.

Newtonin interpolaatiokaava

Jos pisteet sijaitsevat yhtä kaukana , polynomi voidaan kirjoittaa muodossa [3] : ${\displaystyle x_{0},\;x_{1},\ldots ,x_{n))$ ${\näyttötyyli (x_{k}=x_{0}+kh)}$ $P_n(x)$

P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\Delta y_{0}+{\frac {t(t-1)}{2))\Delta ^{2} y_{0}+\ldots +{\frac {t(t-1)\cdots (t-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0}.

Tässä on rajallinen järjestysero . _ Tämä on ns. Newtonin kaava eteenpäin suuntautuvalle interpoloinnille. Sen nimi osoittaa, että se sisältää annetut arvot , jotka vastaavat juuri oikealla puolella olevia interpolointisolmuja . Tämä kaava on kätevä interpoloitaessa funktioita arvoille, jotka ovat lähellä . Kun interpoloidaan funktioita lähellä oleville arvoille , on suositeltavaa muuntaa Newtonin kaava muuttamalla origoa (katso Stirlingin ja Besselin kaavat alla). $x_{0}+th=x$ $\Delta ^{k}$ $k$ $f$ $x_{0}$ $x$ $x_{0}$ $x$ $x_k$

Lyhyt muoto Newtonin interpolaatiokaavasta tasaetäisyyden solmujen tapauksessa [4] :

P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}\left(C_{x}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1) ^{k}\,C_{m}^{k}\,f(k)\oikea)

missä ovat binomikertoimet yleistettynä reaalilukujen alueeseen . $C_{x}^{m}$

Newtonin kaava voidaan kirjoittaa myös epätasaisesti sijaitseville solmuille käyttämällä tähän jaettuja eroja . Toisin kuin Lagrangen kaava, jossa jokainen termi riippuu kaikista interpolointisolmuista, mikä tahansa Newtonin kaavan -. termi riippuu ensimmäisistä (alkuperäisistä) solmuista, ja uusien solmujen lisääminen lisää vain uusia termejä kaavaan, mikä antaa sille edun laskelmien kustannustehokkuus [ 5] . $k$

Stirlingin interpolaatiokaava

Jos käytämme joukkoa solmuja , jossa , niin Newtonin kaavalla saadaan Stirlingin kaava [6] : $x_{k}=x_{0}+kh$ $k=-n,\;-n+1,\ldots ,-1,\;0,\;1,\ldots ,n$

P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\delta y_{0}+{\frac {t^{2}}{2}}\delta ^{2}y_ {0}+\lpisteet +{\frac {t(t^{2}-1)\lpisteet (t^{2}-(n-1)^{2})}{(2n-1)!}} \delta ^{2n-1}y_{0}+{\frac {t^{2}(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2}) }{(2n)!}}\delta ^{2n}y_{0}.

Tässä ja on keskeinen äärellinen järjestyksen ero . $t={\frac {x-x_{0}}{h}}$ ${\displaystyle \delta ^{k))$ $k$

Besselin interpolaatiokaava

Samalla tavalla voidaan saada Besselin kaava, jonka muoto on [7]

P_{n}(x_{0}+th)=y_{1/2}+\left(t-{\frac {1}{2}}\right)\Delta y_{1/2}+ {\frac {t(t-1)}{2}}\Delta ^{2}y_{1/2}+\cdots +{\frac {t(t^{2}-1)\cdots (t^ {2}-(n-1)^{2})(tn)}{(2n)!}}\Delta ^{2n}y_{1/2}+{\frac {t(t^{2}- 1)\cdots (t^{2}-(n-1)^{2})(tn)(t-{\frac {1}{2)))}{(2n+1)!}}\Delta ^{2n+1}y_{1/2}.

Tämä kaava on erityisen kätevä interpolointiin kohdassa , koska tässä tapauksessa kaikki ehdot, jotka sisältävät parittoman kertaluvun äärellisiä eroja, katoavat. Tämä tapaus vastaa arvoa , eli interpolointia "keskelle" [8] . $t={\frac {1}{2}}$ $x=x_{0}+{\frac {1}{2}}h$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 85.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 91.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 119.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 115.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 107.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 127.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 129.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , s. 130.

Kirjallisuus

Goncharov, VL Interpoloinnin teoria ja funktioiden approksimaatio. - 2. painos, tarkistettu .. -M .:Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1954.
Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Laskennalliset menetelmät. - 2. painos -M .:Fizmatlit, 1962. - T. I. (Venäjän kieli)

Linkit

[bse.sci-lib.com/article055748.html Great Soviet Encyclopedia]