Kvasikupera funktio

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. maaliskuuta 2017 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Kvasikupera funktio on yleistys konveksin funktion käsitteestä , joka on löytänyt laajan sovelluksen epälineaarisessa optimoinnissa , erityisesti sovellettaessa optimointia taloustieteisiin .

Määritelmä

Olkoon X konveksi osajoukko . Funktiota kutsutaan kvasikuperaksi tai unimodaaliseksi, jos seuraava epäyhtälö pätee mielivaltaisille elementeille ja : $\mathbb {R} ^{n}$ $f:X\to \mathbb {R}$ $x,y\in X$ $\lambda \in [0,1]$

$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \max {\big (}f(x),f(y){\big )}.$

Jos myös: ${\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)<\max {\big (}f(x),f(y){\big )))$

for ja sitten funktion sanotaan olevan tiukasti kvasikupera . $x\neq y$ $\lambda \in(0,1)$

Funktiota kutsutaan näennäiskoveraksi (tiukasti kvasikoveraksi ), jos se on näennäiskupera (tiukasti kvasikupera). $f:X\to \mathbb {R}$ $-f$

Vastaavasti funktio on kvasikovera jos

f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big (}f(x),f(y){\big )}.

ja ehdottomasti näennäiskovera jos

f(\lambda x+(1-\lambda )y)>\min {\big (}f(x),f(y){\big )}.

Funktiota, joka on sekä kvasikupera että kvasikovera, kutsutaan kvasi -lineaariseksi .

Esimerkkejä

Mielivaltainen kupera funktio on näennäiskupera, mielivaltainen kovera funktio on näennäiskuvera.
Funktio on kvasilineaarinen positiivisten reaalilukujen joukossa . $f(x)=\ln x$
Funktio on kvasikovera joukossa (ei-negatiivisten lukujen parien joukko), mutta se ei ole kupera eikä kovera. ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2))$ $\mathbb {R} _{+}^{2},$
Funktio on näennäiskupera, eikä se ole konveksi eikä jatkuva . $x\mapsto \lfloor x\rfloor$

Ominaisuudet

Funktio , jossa on kupera joukko , on näennäiskupera silloin ja vain jos kaikille joukolle $f:X\to \mathbb {R}$ $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\beta \in \mathbb {R} ,$

${\displaystyle X_{\beta }=\{x\in X|f(x)\leqslant \beta \))$ kupera

Todiste. Olkoon joukko kupera mille tahansa β:lle. Korjaamme kaksi mielivaltaista pistettä ja harkitsemme kohtaa Pisteet klo . Koska joukko on kupera, niin , ja siis, eli määritelmässä annettu epäyhtälö täyttyy ja funktio on kvasikupera.

{\displaystyle X_{\beta ))

x_1, x_2\in X

x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2},\quad \lambda \in (0,1).

{\displaystyle x_{1},x_{2}\in X_{\beta ))

{\displaystyle \beta =\max\{f(x_{1}),f(x_{2})\))

{\displaystyle X_{\beta ))

{\displaystyle \;x\in X_{\beta ))

f(x)\leqslant \beta =max\{f(x_{1}),f(x_{2})\},

Olkoon funktio f kvasikupera. Joillekin korjaamme mielivaltaisia pisteitä Sitten . Koska X on kupera joukko, niin mille tahansa pisteelle . Kvasikuperuuden määritelmästä seuraa, että , eli . Otzhe on kupera joukko.

\beta \in \mathbb {R}

x_{1},x_{2}\in X_{\beta }.

\max\{f(x_{1}),f(x_{2})\}\leqslant \beta

\lambda \in(0,1)

x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2}\in X

f(x)\leqslant max\{f(x_{1}),f(x_{2})\}\leqslant \beta

{\displaystyle x\in X_{\beta ))

{\displaystyle X_{\beta ))

Jatkuva funktio , jossa X on konveksi joukko , on näennäiskupera silloin ja vain, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy: $f:X\to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

f on ei-laskeva;
f - ei-nouseva;
on sellainen piste , että kaikille funktio f on ei-kasvava, ja kaikille funktio f on ei-pienevä. $c\in X$ $t\in X,t\leqslant c,$ $t\in X,t\geqslant c,$

Differentioituvat kvasikuperat funktiot

Olkoon X : n differentioituva funktio , jossa on avoin kupera joukko. Silloin f on näennäiskupera X:ssä silloin ja vain, jos relaatio pätee: $f:X\to \mathbb {R}$ $X\subset \mathbb {R} ^{n}$

f(y)\leqslant f(x)\Rightarrow \left\langle f^{'}(x),yx\right\rangle \leqslant 0

kaikille .

x,y\in X

Olkoon f kahdesti differentioituva funktio. Jos f on kvasikupera X:ssä, seuraava ehto täyttyy:

\left\langle f^{'}(x),y\right\rangle =0\Rightarrow \left\langle f^{''}(x)y,y\right\rangle \geqslant 0,

kaikille .

x\in X,y\in \mathbb {R} ^{n}

Tarvittavat ja riittävät ehdot kvasikonveksiteettiä ja kvasikoveruutta varten voidaan antaa myös ns. rajatulla Hessen- matriisilla . Määrittelemme funktiolle determinantit : $f(x_{1},\ldots ,x_{m})$ $1\leqslant n\leqslant m$

$D_{n}={\begin{vmatrix}0&{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}&{\frac {\partial f}{\partial x_{2))} &\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n))}\\\\{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}&{\frac {\partial ^ {2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\ cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n))}\\\\{\frac {\partial f}{\partial x_{2} }}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{ 2}^{2))}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n))}\\\\\vdots &\vdots &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet \\\\{\frac {\partial f}{\partial x_{n))}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n} \,\partial x_{1))}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2))}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{vmatrix}}$

Sitten väitteet ovat totta:

Jos funktio f on kvasikupera joukossa X , niin D n ( x ) ≤ 0 kaikille n :lle ja kaikille x :stä .
Jos funktio f on kvasikovera joukossa X , niin D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 kaikille x :ille, joissa X .
Jos D n (x) ≤ 0 kaikille n :ille ja kaikille x :ille, joissa on X , niin funktio f on kvasikonveksi joukossa X .
Jos D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 kaikille x :ille, joissa on X , funktio f on kvasikovera joukossa X.

Operaatiot, jotka säilyttävät näennäiskuperuuden

Painotettujen kvasikupereiden funktioiden maksimi ei-negatiivisilla painoilla, ts.

f=\max \left\lbrace w_{1}f_{1},\ldots ,w_{n}f_{n}\right\rbrace

missä

w_{i}\geqslant 0

koostumus, jolla on ei-pienenevä funktio (jos se on kvasikupera, on ei-pienenevä, niin se on näennäiskupera). $g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ $h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $f=h\circ g$
minimointi (jos f(x, y) on kvasikonveksi, C on konveksi joukko, niin se on kvasikonveksi). $h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)$

Linkit

Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe Convex Optimization Arkistoitu 13. heinäkuuta 2017 Wayback Machinessa

Kirjallisuus

Alpha C Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3. painos, McGraw Hill Book Company, 1984.