Monimutkainen arvoinen funktio

Reaalimuuttujan funktioteoriassa kompleksiarvoinen funktio on funktio , joka ottaa kompleksisia arvoja: . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$

Tällainen funktio voidaan esittää seuraavasti:

f(x)=u(x)+iv(x)

missä ja ovat todellisia toimintoja . Tässä tapauksessa funktiota kutsutaan funktion todelliseksi osaksi ja - sen imaginaariosaksi. Tällaisen hajotuksen yhteydessä kaikki reaaliarvoisille funktioille esitellyt käsitteet siirtyvät luonnollisesti kompleksiarvoisiksi funktioiksi, erityisesti kompleksiarvoista funktiota pidetään jatkuvana ( differentioituva , analyyttinen , mitattava , harmoninen ), jos sen reaali- ja imaginaariosat ovat ovat jatkuvia (differentioituvia, analyyttisiä, mitattavia, harmonisia) funktioita. Kompleksiarvoisen funktion integraali määritellään seuraavasti: $u(x)$ $v(x)$ $u(x)$ $f(x)$ $v(x)$ $f(x)=u(x)+iv(x)$

\int \limits _{a}^{b}f(x)=\int \limits _{a}^{b}u(x)dx+i\int \limits _{a}^{b }v(x)dx

Kaikkia reaali- ja imaginaariosille samanaikaisesti voimassa olevia ominaisuuksia ei kuitenkaan voida laajentaa kompleksiarvoisiin funktioihin. Erityisesti Rollen lause ei päde kompleksiarvoisille funktioille yleisessä tapauksessa , esimerkiksi todellisen argumentin kompleksiarvoisen funktion derivaatta:

{\displaystyle \sigma (x)=e^{ix))

ei katoa väliin , vaikka janan loppupisteissä funktion arvot ovat yhtä suuria kuin . $[0,2\pi ]$ $(\sigma (0)=\sigma (2\pi )=1)$

Kirjallisuus

Titchmarsh E. Toimintojen teoria. - 2. painos, tarkistettu. - M .: Nauka , 1980 . — 464 s.