Vastaesimerkki

Vastaesimerkki  on esimerkki, joka kumoaa jonkin väitteen totuuden.

Vastaesimerkin rakentaminen on yleinen tapa kumota hypoteeseja . Jos on lause, kuten "Jokaiselle X :lle joukosta M ominaisuus A on tosi ", niin vastaesimerkki tälle lauseelle on: " Jokussa M on objekti X 0 , jolle ominaisuus A ei täyty".

Vastaesimerkin löytäminen käsin on usein erittäin vaikeaa. Tällaisissa tapauksissa voit käyttää tietokonetta . Vastaesimerkin löytämisohjelma voi yksinkertaisesti iteroida joukon M alkioita ja tarkistaa, täyttyykö ominaisuus A. Monimutkaisempi, mutta myös tehokkaampi lähestymistapa on rakentaa vastaesimerkki "pala palalta". Samanaikaisesti valittaessa seuraavaa "osaa" vaihtoehdot hylätään välittömästi, mikä ei tietenkään johda tarkasteltavan lausunnon kumoamiseen. Tämän avulla voit nopeuttaa työtä merkittävästi, usein suuruusluokkaa.

On muistettava, että vastaesimerkin puuttuminen ei ole todiste olettamuksesta. Tällainen todistus voidaan rakentaa vain, jos tarkasteltava joukko on äärellinen. Tässä tapauksessa riittää, että luetellaan kaikki sen elementit, ja jos niiden joukossa ei ole vastaesimerkkiä, väite todistetaan.

Klassisia vastaesimerkkejä matematiikassa

• Dirichlet-funktio  on esimerkki funktiosta , joka on epäjatkuva joka pisteessä.
• Weierstrass-funktio  on esimerkki kaikkialla jatkuvasta , mutta ei missään erottuvasta funktiosta .
• Cantor-funktio  on esimerkki jatkuvasta monotonisesta funktiosta , joka ei ole vakio , mutta jonka derivaatta on nolla lähes kaikissa pisteissä.

Vastaesimerkkejä muilla tiedonhaaroilla

• Y. Stojanovin kirjassa "Todennäköisyysteorian vastaesimerkkejä" toteamus "Venäjän kielessä ei ole sanaa, joka sisältää viisi konsonanttia peräkkäin". Vastaesimerkki sille on sana " contrpr imer".

Kirjallisuus

• Gelbaum B, Olmstead J. Vastaesimerkkejä analyysissä . M.: Mir, 1967.
• Lakatos, I. Todistuksia ja vastaväitteitä: kuinka lauseet todistetaan . Moskova: Nauka, 1967.
• Medvedev F. A.  Esseitä reaalimuuttujan funktioteorian historiasta . Moskova: Nauka, 1975.
• Sekey G. Paradokseja todennäköisyysteoriassa ja matemaattisissa tilastoissa . M.: Mir, 1980.
• Stoyanov J. Vastaesimerkkejä todennäköisyysteoriassa . M.: Factorial, 1999.
• Shchetnikov A. I. , Shchetnikova A. V. Vastaesimerkkien rooli matemaattisen analyysin peruskäsitteiden kehittämisessä. - Novosibirsk: ANT, 1999.
• Romano JP, Siegel AF Vastaesimerkkejä todennäköisyyksistä ja tilastoista . Chapman & Hall , NY, 1986.
• Steen LA, Seebach JA (jr.). Vastaesimerkkejä topologiassa . Springer , NY, 1978.
• Wise GL, Hall EB Vastaesimerkkejä todennäköisyys- ja reaalianalyysissä . Oxford UP, 1993.