Liouville-Mordukhai-Boltovsky-kriteeri

Liouville-Mordukhai-Boltovsky- kriteeri on ratkaisun olemassaolo mielivaltaisen järjestyksen lineaarisen homogeenisen tavallisen differentiaaliyhtälön yleistetyissä kvadratuurissa .

Historia

Kriteerin erikoistapauksen (toisen asteen lineaarisille homogeenisille yhtälöille) osoitti ranskalainen matemaatikko Liouville vuonna 1839. Venäläinen matemaatikko Mordukhai-Boltovskoy vuonna 1910 Liouvillen menetelmää kehittäessään osoittautui kriteeriksi mielivaltaisen järjestyksen yhtälöille [1] :

Sanamuoto

n:nnen kertaluvun differentiaaliyhtälö

y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+\cdots +p_{n}y=0

kertoimilla funktionaalisesta differentiaalikentästä , jonka kaikki elementit ovat esitettävissä yleistetyissä kvadratuureissa, ratkaistaan yleistetyissä kvadratuurissa, jos ja vain, jos molemmat seuraavista ehdoista täyttyvät: $p_{i}$ $K$

Ensinnäkin sillä on muotoinen ratkaisu

y_{1}(x)=\exp \int _{x_{0}}^{x}f(t)\,dt,

missä on jossain kentän algebrallisessa laajennuksessa oleva funktio , $f$ $K_1$ $K$

Toiseksi (n−1):nnen kertaluvun differentiaaliyhtälö funktiolle , jolla on kertoimet kentästä , joka saadaan alkuperäisestä yhtälöstä kertaluvun pelkistysmenettelyllä, ratkaistaan yleistetyissä kvadratuurissa kentän yli . $z=y'-{\frac {y_{1}'}{y_{1))}y$ $K_1$ $K_1$

Muistiinpanot

↑ A. G. Khovansky . Topologinen Galois'n teoria: yhtälöiden ratkaistavuus ja ratkaisemattomuus äärellisessä muodossa. — M .: MTsNMO Publishing House , 2008. (s. 54-55).

Kirjallisuus

A. G. Khovansky. Topologinen Galois'n teoria: yhtälöiden ratkaistavuus ja ratkaisemattomuus äärellisessä muodossa. — M .: MTsNMO Publishing House, 2008. — 296 s.