Pearsonin sopivuustesti

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9. marraskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Pearsonin sopivuustesti tai sopivuustesti (chi-neliö) $\chi ^{2}$ on ei-parametrinen menetelmä, jonka avulla voit arvioida erojen merkitystä todellisen (tutkimuksen tuloksena paljastun) tulosten lukumäärän tai kuhunkin kategoriaan kuuluvan otoksen kvalitatiiviset ominaisuudet ja teoreettinen luku, joka voidaan odottaa tutkituissa ryhmissä, jos nollahypoteesi pitää paikkansa. Yksinkertaisemmin sanottuna menetelmän avulla voit arvioida kahden tai useamman suhteellisen indikaattorin (frekvenssi, osuudet) välisten erojen tilastollista merkitsevyyttä.

Se on yleisimmin käytetty kriteeri sen hypoteesin testaamiseksi , että havaittu otoskoko kuuluu johonkin teoreettiseen jakautumislakiin . $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ $n$ $F(x,\theta )$

Khin-neliö-kriteerin ehdollisuustaulukoiden analysointia varten kehitti ja ehdotti vuonna 1900 matemaattisten tilastojen perustaja, englantilainen tiedemies Karl Pearson .

Kriteeriä voidaan käyttää lomakkeen yksinkertaisten hypoteesien testaamiseen

H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta ),

missä on tunnettu teoreettisen lain parametrien vektori ja testattaessa muodon monimutkaisia hypoteeseja $\theta$

H_{0}:F_{n}(x)\in \left\{F(x,\theta ),\theta \in \Theta \right\},

kun skalaari- tai vektorijakaumaparametrin estimaatti lasketaan saman näytteen perusteella. ${\hattu {\theta ))$ $F(x,\theta )$

Kriteeritilastot

Menettely hypoteesien testaamiseksi tyyppikriteereillä sisältää havaintojen ryhmittelyn. Satunnaismuuttujan määritelmäalue on jaettu rajapisteillä ei-leikkaaviin intervalleihin $\chi ^{2}$ $k$

x_{(0)},x_{(1)},...,x_{(k-1)},x_{(k)},

missä on satunnaismuuttujan määritelmäalueen alaraja; - yläreuna. $x_{(0)}$ $x_{(k)}$

Annetun osion mukaisesti lasketaan väliin osuvien näytearvojen määrä ja väliin putoamisen todennäköisyydet $n_{i}$ $i$

P_{i}(\theta )=F(x_{(i)},\theta )-F(x_{(i-1)},\theta ),

joka vastaa teoreettista lakia jakaumafunktiolla $F(x,\theta ).$

Jossa

n=\summa _{i=1}^{k}n_{i}

\sum _{i=1}^{k}P_{i}(\theta )=1.

Yksinkertaista hypoteesia testattaessa tiedetään sekä lain muoto että kaikki sen parametrit (skalaari- tai vektoriparametri tunnetaan ). $F(x,\theta )$ $\theta$

Tyypin sopivuustesteissä käytetyt tilastot perustuvat poikkeamien mittaamiseen . $\chi ^{2}$ $n_{i}/n$ $P_{i}(\theta )$

Pearsonin sovitustilaston hyvyys määräytyy relaatiolla $\chi ^{2}$

\chi ^{2}=n\sum _{i=1}^{k}{\frac {\left(n_{i}/n-P_{i}(\theta )\right)^{ 2}}{P_{i}(\theta )}}.

Jos testataan yksinkertaista hypoteesia, rajassa at , tämä tilasto noudattaa -jakaumaa vapausasteilla , jos testattu hypoteesi on totta . -jakauman tiheys , joka on gamma-jakauman erikoistapaus , kuvataan kaavalla $n\to\infty$ $\chi _{r}^{2}$ $r = k-1$ $H_{0}$ $\chi _{r}^{2}$

g(s)={\frac {1}{2^{r/2}\Gamma (r/2)}}s^{r/2-1}e^{-s/2}.

Testattu hypoteesi hylätään suurilla tilastoarvoilla, kun otoksesta lasketun tilaston arvo on suurempi kuin kriittinen arvo $H_{0}$ ${\displaystyle \chi _{n}^{2))$ $\chi _{r,\alpha }^{2},$

P\left(\chi _{n}^{2}>\chi _{r,\alpha }^{2}\right)={\frac {1}{2^{r/2}\ Gamma (r/2)}}\int _{\chi _{r,\alpha }^{2}}^{\infty }s^{r/2-1}e^{-s/2}ds

tai saavutettu merkitsevyystaso ( p - arvo ) on pienempi kuin annettu merkitsevyystaso (annettu ensimmäisen tyyppinen virhetodennäköisyys ) . $\alpha$

Monimutkaisten hypoteesien testaus

Monimutkaisia hypoteeseja testattaessa, jos lain parametrit samalle otokselle on arvioitu tilastojen minimoimisen tuloksena tai ryhmitellylle otokselle käyttämällä maksimitodennäköisyysmenetelmää , tilastot noudattavat -jakaumaa , jos testattu hypoteesi pitää paikkansa. vapausasteet, jossa on otoksesta arvioitujen parametrien lukumäärä. $F(x,\theta )$ ${\displaystyle \chi _{n}^{2))$ ${\displaystyle \chi _{n}^{2))$ $\chi _{r}^{2}$ $r = km-1$ $m$

Jos parametrit estimoidaan alkuperäisestä ryhmittämättömästä otoksesta, tilaston jakauma ei ole -jakauma [ 1] . Lisäksi tilastojen jakauma hypoteesin toteuduttua riippuu ryhmittelymenetelmästä eli siitä, kuinka määritelmäalue on jaettu intervalleihin [2] . ${\displaystyle \chi _{km-1}^{2))$ $H_{0}$

Kun arvioit parametrien maksimitodennäköisyyden menetelmää ryhmittämättömälle näytteelle, voit käyttää muunnettuja kriteerejä, kuten [3] [4] [5] [6] . $\chi ^{2}$

Kriteerin voimasta

Sopivuuskriteereitä käytettäessä kilpailevia hypoteeseja ei pääsääntöisesti aseteta: otos kuuluu tiettyyn lakiin ja kilpailevana hypoteesina otetaan huomioon mikä tahansa muu laki. Luonnollisesti kriteeri pystyy erottamaan eri tavoin vastaavasta laista, lähellä tai kaukana siitä olevat lait. Jos määrittelemme kilpailevan hypoteesin ja jonkin sitä vastaavan kilpailevan lain , voidaan jo puhua kahden tyyppisistä virheistä: ei vain ensimmäisen tyyppisestä virheestä (testattavan hypoteesin hylkääminen, kun se on totta) ja todennäköisyydestä tämä virhe , mutta myös 2. tyyppinen virhe ( reilun hylkäämättä jättäminen ) ja tämän virheen todennäköisyydestä . $H_{0}$ $H_{1}$ $F_{1}(x,\theta )$ $H_{0}$ $\alpha$ $H_{0}$ $H_{1}$ $\beeta$

Kriteerin voimaa suhteessa kilpailevaan hypoteesiin luonnehtii arvo . Mitä paremmin kriteeri tunnistaa kilpailevan hypoteesiparin ja sitä suurempi on sen teho. $H_{1}$ $1-\beta$ $H_{0}$ $H_{1}$

Pearsonin sopivuustestin teho riippuu merkittävästi ryhmittelymenetelmästä [7] [8] ja valitusta intervallimäärästä [8] [9] . $\chi ^{2}$

Asymptoottisesti optimaalisessa ryhmittelyssä, joka maksimoi Fisherin informaatiomatriisin eri funktionaalisuuden ryhmitellyn datan yli (minimoi ryhmittelyyn liittyvät häviöt), Pearsonin sopivuustestillä on suurin teho suhteessa "(hyvin) läheisiin" kilpaileviin hypoteeseihin [ 10] [8] [9] . $\chi ^{2}$

Yksinkertaisia hypoteeseja testattaessa ja asymptoottisesti optimaalista ryhmittelyä käytettäessä Pearsonin sopivuustestillä on etua ei-parametrisiin sopivuustesteihin verrattuna. Monimutkaisia hypoteeseja testattaessa ei-parametristen kriteerien teho kasvaa, eikä sellaista etua ole [11] [12] . Minkä tahansa kilpailevan hypoteesiparin (kilpailevien lakien) kohdalla on kuitenkin mahdollista maksimoida kriteerin teho valitsemalla intervallien lukumäärä ja tapa jakaa satunnaismuuttujan määritelmäalue intervalleiksi [13] . $\chi ^{2}$

Katso myös

Fisherin tarkka testi

Muistiinpanot

↑ Chernoff H., Lehmann EL Maksimitodennäköisyysestimaattien käyttö sovitushyvyyden testissä $\chi ^{2}$ // The Annals of Mathematical Statistics. - 1954. - Voi. 25 . - s. 579-586 .
↑ Lemeshko B. Yu., Postovalov S. N. Pearson-tilastojen rajoittavien jakaumien ja todennäköisyyssuhteen riippuvuudesta tietojen ryhmittelymenetelmästä $\chi ^{2}$ // Industrial Laboratory. - 1998. - T. 64 , no. 5 . - S. 56-63 . (Venäjän kieli)
↑ Nikulin M.S. Chi-neliötesti jatkuville jakaumille siirto- ja skaalausparametreilla // Todennäköisyysteoria ja sen sovellus. - 1973. - T. XVIII , no. 3 . - S. 583-591 . (Venäjän kieli)
↑ Nikulin M.S. Jatkuvien jakaumien khin- neliökriteeristä // Todennäköisyysteoria ja sen sovellus. - 1973. - T. XVIII , no. 3 . - S. 675-676 . (Venäjän kieli)
↑ Rao KC, Robson DS Khin-neliötilasto sopivuustesteille eksponentiaalisessa perheessä // Commun. tilasto. - 1974. - Voi. 3 . - s. 1139-1153 .
↑ Greenwood PE, Nikulin MS Opas chi-neliötestaukseen . — New York: John Wiley & Sons, 1996. — 280 s.
↑ Lemeshko B. Yu. Asymptoottisesti optimaalinen havaintojen ryhmittely sopivuuskriteereissä // Tehdaslaboratorio. - 1998. - T. 64 , no. 1 . - S. 56-64 . (Venäjän kieli)
↑ 1 2 3 R 50.1.033-2001. Suosituksia standardointiin. Sovellettu tilasto. Säännöt kokeellisen ja teoreettisen jakauman välisen yhteensopivuuden tarkistamiseksi. Osa I. Chi-neliötestit . - M . : Publishing house of Standards, 2006. - 87 s.
↑ 1 2 Lemeshko B. Yu., Chimitova E. V. Välien lukumäärän valinnasta $\chi ^{2}$ tyyppisopimuskriteereissä // Tehdaslaboratorio . materiaalin diagnostiikka. - 2003. - T. 69 , no. 1 . - S. 61-67 . (Venäjän kieli)
↑ Denisov V. I., Lemeshko B. Yu. Optimaalinen ryhmittely kokeellisen tiedon käsittelyssä // Mittaustietojärjestelmät. - Novosibirsk, 1979. - S. 5-14.
↑ Lemeshko B. Yu., Lemeshko S. B., Postovalov S. N. Sopivuuskriteerien voiman vertaileva analyysi läheisten kilpailevien hypoteesien alla. I. Yksinkertaisten hypoteesien testaus // Siberian Journal of Industrial Mathematics. - 2008. - T. 11 , no. 2(34) . - S. 96-111 . (Venäjän kieli)
↑ Lemeshko B. Yu., Lemeshko S. B., Postovalov S. N. Sopivuustestien tehon vertaileva analyysi läheisten vaihtoehtojen kanssa. II. Monimutkaisten hypoteesien testaus // Siberian Journal of Industrial Mathematics. - 2008. - T. 11 , no. 4(36) . - S. 78-93 . (Venäjän kieli)
↑ Lemeshko B. Yu., Lemeshko S. B., Postovalov S. N., Chimitova E. V. Tilastollinen data-analyysi, mallinnus ja todennäköisyysmallien tutkimus. Tietokoneen lähestymistapa . - Novosibirsk: Publishing House of NSTU, 2011. - 888 s. — (NSTU:n monografiat). — ISBN 978-5-7782-1590-0 . (Venäjän kieli)— Kohta 4.9.

Kirjallisuus

Kendall M., Stuart A. Tilastolliset päätelmät ja yhteydet. - M .: Nauka, 1973.

Pearsonin sopivuustesti

Kriteeritilastot

Monimutkaisten hypoteesien testaus

Kriteerin voimasta

Katso myös

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Katso myös

Linkit