Yksipuolinen raja

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25. huhtikuuta 2019 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Yksipuolinen raja matemaattisessa analyysissä - numeerisen funktion raja , mikä tarkoittaa "lähestymistä" toisella puolella olevaan rajapisteeseen. Tällaisia rajoja kutsutaan vastaavasti vasemmanpuoleiseksi rajaksi (tai vasemmaksi rajaksi ) ja oikeanpuoleiseksi rajaksi ( oikeaksi rajaksi ).

Määritelmät

Olkoon jollekin numeeriselle joukolle annettu numeerinen funktio ja luku on määritelmäalueen rajapiste . Pisteessä olevan funktion yksipuolisille rajoituksille on olemassa erilaisia määritelmiä , mutta ne ovat kaikki samanarvoisia. $M\subset \mathbb {R}$ $f\colon M\to \mathbb{R}$ $a$ $M$ $f \vasen( x \oikea)$ $a$

Heinen yksipuolinen raja

Lukua kutsutaan funktion oikeanpuoleiseksi rajaksi ( oikea raja , oikea raja ) pisteessä, jos minkä tahansa pistejonon kohdalla, joka on suurempi kuin , joka itse konvergoi arvoon , funktion vastaava arvosarja konvergoi arvoon . $A\in \mathbb{R}$ $f \vasen( x \oikea)$ $a$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $a$ $a$ $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $A$ $\lim _{x\to a+}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\ kaksoispiste \left(\forall k\in \mathbb {N} \Rightarrow x_{k}>a\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Rightarrow \lim _{n \to \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A$
Lukua kutsutaan funktion vasemmanpuoleiseksi rajaksi ( vasen raja , vasen raja ) pisteessä, jos mille tahansa pistejonolle , joka on pienempi kuin , joka itse konvergoi arvoon , funktion vastaava arvosarja konvergoi arvoon . [yksi] $A\in \mathbb{R}$ $f \vasen( x \oikea)$ $a$ $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $a$ $a$ $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n = 1}^{\infty}$ $A$ $\lim _{x\to a-}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } \colon \left(\forall k\in \mathbb {N} \Rightarrow x_{k}<a\right)\land \lim _{n\to \infty }x_{n}=a\Rightarrow \lim _{ n\to \infty }\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }=A$

Yksipuolinen Cauchyn raja

Lukua kutsutaan funktion oikeanpuoleiseksi rajaksi ( oikea raja , oikea raja ) pisteessä , jos jollekin positiiviselle luvulle löytyy sitä vastaava positiivinen luku siten , että epäyhtälö on tosi kaikissa välin pisteissä . $A\in \mathbb{R}$ $f \vasen( x \oikea)$ $a$ $\varepsilon$ $\delta$ $x$ $\left(a,a+\delta\oikea)$ $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$ $\lim _{x\to a+}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0\colon ~\forall x\in \left(a,a+\delta \right)\Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon$
Lukua kutsutaan funktion vasemmanpuoleiseksi rajaksi ( vasen raja , vasen raja ) pisteessä , jos jollekin positiiviselle luvulle löytyy sitä vastaava positiivinen luku siten, että epäyhtälö on tosi kaikissa välin pisteissä . [yksi] $A\in \mathbb{R}$ $f \vasen( x \oikea)$ $a$ $\varepsilon$ $\delta$ $x$ $\vasen(a-\delta ,a\oikea)$ $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$ $\lim _{x\to a-}f\left(x\right)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists \delta =\delta \left(\varepsilon \right)>0\ kaksoispiste ~\forall x\in \left(a-\delta ,a\right)\Rightarrow \left|f\left(x\right)-A\right|<\varepsilon$

Yksipuolinen raja rajana suodatinta pitkin

Yksipuolinen raja on erikoistapaus yleisestä käsitteestä funktion rajasta suodatinta pitkin . Olkoon ja Sitten asetettu järjestelmät $M\subset {\mathbb {R}),$ $a \ in M'.$

{\mathfrak {B}}_{+}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\}

{\mathfrak {B}}_{-}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\}

ovat suodattimia . Näiden suodattimien rajat ovat samat kuin vastaavat yksipuoliset rajat:

\lim \limits _{{{\mathfrak {B}}_{+}}}f(x)\equiv \lim \limits _{{x\to a+}}f(x);

\lim \limits _{{{\mathfrak {B}}_{-}}}f(x)\equiv \lim \limits _{{x\to a-}}f(x).

Merkintä

Oikeanpuoleinen raja merkitään yleensä jollakin seuraavista tavoista: $\lim \limits _{{x\to a+}}f(x),\ \ \lim \limits _{{x\to a+0}}f(x),\ \ \lim _{{x\downarrow a}}f(x),\ \ \lim _{{x\searrow a}}f(x);$
Vastaavasti vasemmanpuoleisille rajoituksille hyväksytään seuraavat merkinnät: $\lim \limits _{{x\to a-}}f(x),\ \ \lim \limits _{{x\to a-0}}f(x),\ \ \lim _{{x\ uparrow a}}f(x),\ \ \lim _{{x\lähellä a}}f(x).$
Käytetään myös seuraavia lyhenteitä:
- $f\left(a+\oikea)$ ja oikealle rajalle; $f\left(a+0\oikea)$
- $f\vasen(a-\oikea)$ ja vasemmalle rajalle. $f\left(a-0\oikea)$

Kun merkintää pienennetään, ja , he yleensä kirjoittavat ja vastaavasti. $a=0$ $\lim \limits _{x\to 0+0}f(x)$ $\lim \limits _{x\to 0-0}f(x)$ $\lim \limits _{x\to +0}f(x)$ $\lim \limits _{x\to -0}f(x)$

Ominaisuudet

Yksipuolisten rajojen pääominaisuudet ovat identtiset tavallisten rajojen kanssa ja ovat erikoistapauksia suodattimen rajojen ominaisuuksista.
Funktion (kaksipuolisen) rajan olemassaoloon on välttämätöntä ja riittävää , että molemmat yksipuoliset rajat ovat olemassa ja ovat keskenään yhtä suuret. [yksi]

Esimerkkejä

Numeerinen tunnistefunktio
- $f\left(x\right)=x$
- Verkkotunnus: $\mathbb {R}$
- Oikea raja: $\forall a\in \mathbb{R} \colon \lim _{{x\to a+0}}x=a$
- Vasen raja: $\forall a\in \mathbb{R} \colon \lim _{{x\to a-0}}x=a$
- Oikea ja vasen raja ovat samat, joten on tavallinen raja: $\forall a\in \mathbb{R} \colon \lim _{{x\to a}}x=a$
Paloittain määritelty toiminto
- $f\left(x\right)={\begin{cases}x^{2},&x<3\\11-\left(x-3\right)^{2},&x>3\end{cases} }$
- Verkkotunnus: $\mathbb{R} \setminus \left\{3\right\}$
- Oikea raja: $\lim _{{x\to 3+0}}f\left(x\right)=11$
- Vasen raja: $\lim _{{x\to 3-0}}f\left(x\right)=9$
- Oikea ja vasen raja ovat erilaiset, joten pisteessä ei ole tavallista rajaa $x=3$
sgn(x)-funktio
- $f\left(x\right)={\begin{cases}0,&x=0\\{\frac {x}{\left|x\right|}},&x\neq 0\end{cases}}$
- Verkkotunnus: $\mathbb {R}$
- Oikea raja: $\lim _{{x\to 0+0}}\operaattorinimi{sgn} \left(x\right)=+1$
- Vasen raja: $\lim _{{x\to 0-0}}\operaattorinimi{sgn} \left(x\right)=-1$
- Oikea ja vasen raja ovat erilaiset, joten pisteessä ei ole tavallista rajaa $x=0$

Katso myös

Toiminnan raja

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 V. A. Iljin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Luku 3. Rajateoria // Matemaattinen analyysi / Toim. A. N. Tikhonova . - 3. painos , tarkistettu ja ylimääräistä - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 105 - 121. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .