Hanselin Lemma

Hanselin lemma on modulaarisen aritmeettisen tulos , jossa todetaan, että jos algebrallisella yhtälöllä on yksinkertainen juuri modulo a alkuluku , niin tämä juuri vastaa yksiselitteisesti saman yhtälön juuria, joka otetaan modulo , joka voidaan löytää potenssien iteratiivisella nostolla . Nimetty Kurt Hanselin mukaan . Yleisemmin Henselin lemmaa käytetään myös perusteena Newtonin menetelmän analogeille täydellisissä kommutatiivisissa renkaissa (erityisesti p-adic-luvuissa ). $s$ $p^{k}$ $s$

Sanamuoto

Hanselin lemmasta on monia vastaavia formulaatioita.

Yleinen sanamuoto

Antaa olla täydellinen kenttä suhteessa diskreetti arvo , ja olla rengas kokonaisia kenttiä (eli elementtejä ei-negatiivinen arvostus). Olkoon jokin elementti sellainen, että , Merkitse sitä vastaavaa jäännöskenttää muodossa . Antaa olla noin polynomin kanssa kertoimet alkaen . Jos pelkistetyllä polynomilla on yksinkertainen juuri (eli on olemassa sellainen, että ja ), niin on olemassa ainutlaatuinen sellainen, että ja [1] . $K$ $v$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$ $\pi \in K$ $K$ $v(\pi )=1$ $k={\mathcal {O}}_{K}/\pi$ $f(X)\in {\mathcal {O}}_{K}[X]$ ${\mathcal {O}}_{K}$ ${\overline {f))(X)\in k[X]$ $k_{0}\in k$ ${\overline {f}}(k_{0})=0$ ${\overline {f'}}(k_{0})\neq 0$ $a\in {\mathcal {O}}_{K}$ $f(a) = 0$ ${\overline {a}}=k_{0}$

Vaihtoehtoinen sanamuoto

Vähemmän yleisessä muodossa lemma muotoillaan seuraavasti: olkoon polynomi kokonaislukukertoimilla (tai p-adic kokonaisluku). Olkoon myös ja olla kokonaislukuja siten, että . Jos on kokonaisluku, sellainen $f(x)$ $m$ $k$ $0<m\leq k$ $r$

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}\quad {\text{u}}\quad f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}},

sitten on sellainen kokonaisluku $s$

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}\quad {\text{u}}\quad r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

Lisäksi luku on yksilöllisesti määritelty modulo ja se voidaan ilmaista eksplisiittisesti muodossa $s$ $p^{k+m}$

s=rf(r)\cdot a,

missä on sellainen kokonaisluku $a$

a\equiv [f'(r)]^{-1}{\pmod {p^{m))}.

On huomattava , että ehto täyttyy myös . ${\displaystyle f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k))))$ ${\displaystyle s\equiv r{\pmod {p^{k))))$

Esimerkki

Tarkastellaan yhtälöä , joka määrittää automorfiset pituusluvut desimaalimuodossa. Sitä voidaan pitää kahden yhtälön moduulin alkupotenssien ekvivalenttina järjestelmänä : ${\displaystyle x^{2}\equiv x{\pmod {10^{k))))$ $k$

{\begin{cases}x^{2}\equiv x{\pmod {2^{k}}},\\x^{2}\equiv x{\pmod {5^{k}}} \end{cases}}

Kun yhtälön ratkaisut ovat numeroita, jotka päättyvät , , tai . Ratkaisujen saamiseksi suurille voimme käyttää Hanselin lemmaa olettaen, että . $k = 1$ $0$ $yksi$ $5$ $6$ $k$ $f(x)=x^{2}-x$

Yllä olevien kaavojen mukaan siirtyminen kohteesta for näyttää tältä: $p^{k}$ $p^{k+m}$ $m\leq k$

{\textstyle s=r-(r^{2}-r)\cdot (2r-1)^{-1}={\frac {r^{2}}{2r-1}}{\pmod {p ^{k+m}}}.}

Katso myös

Minkowski-Hassen lause

Muistiinpanot

↑ Serge Lang, Algebraic Number Theory , Addison-Wesley Publishing Company, 1970, s. 43

Kirjallisuus

Eisenbud, David (1995), Commutative algebra , voi. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berliini, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94269-8
Milne, J. G. (1980), Étale cohomology , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7