Topologian perusta

Topologian kanta ( topologisen avaruuden kanta, topologian perusta, avoin kanta ) on topologisen avaruuden avoimien osajoukkojen perhe , jolloin mikä tahansa avoin joukko voidaan esittää tämän perheen elementtien liittona. $X$ $X$

Usein topologian kanta esitetään topologian esittelyä varten . Esimerkiksi metrisessä avaruudessa topologia määritellään kaikkien avoimien pallojen muodostaman kannan perusteella.

Määritelmä

Topologisen avaruuden avoimien joukkojen perhettä kutsutaan topologian (tai topologisen avaruuden) pohjaksi, jos mikä tahansa avoin joukko kohteesta voidaan esittää perheen elementtien liittona . ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$

Topologisen avaruuden avoimien joukkojen perhe on kanta, jos ja vain jos jokaiselle avaruuden pisteelle ja sen ympäristölle on joukko sellaisesta , että . ${\mathfrak {B}}$ $X$ $x$ $X$ $U$ $V$ ${\mathfrak {B}}$ $x\in V\osajoukossa U$

Topologisen avaruuden paino

Avaruuden kaikkien kantojen minimikardialiteettia kutsutaan topologisen avaruuden painoksi . Tilan paino on yleensä merkitty . $X$ $X$ $X$ $w(X)$

Ominaisuudet

Jokaiselle kannalle on osajoukko , joka on kanta ja jonka kardinaalisuus on yhtä suuri kuin tilan paino. ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}_{0}$
Jos avaruuden paino ei ole suurempi kuin laskettava (eli sillä on laskettava kanta), niin sitä kutsutaan avaruudeksi, jolla on toinen laskettavuuden aksiooma . $X$ $X$ $X$
Painotilassa on kaikkialla tiheä voimasarja . $\tau$ $\leqslant \tau$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Avaruuden paikallinen kanta pisteessä (pisteen kanta ) on pisteen lähialueperhe, jolla on seuraava ominaisuus: jokaiselle pisteen naapurustolle on olemassa elementti , joka . $X$ $x\in X$ $x$ $\mathfrak{B}(x)$ $x$ $Härkä$ $x$ $V \in \mathfrak{B}(x)$ $x \in V \osajoukko O_x$
- Avaruuden kaikkien paikallisten kantakohtien minimikardinaliteettia pisteessä kutsutaan
avaruuden luonteeksi pisteessä ja sitä merkitään . $X$ $x\in X$ $X$ $x$ $\chi (x, X)$
Avaruuden merkkien yläsummaa kaikissa kohdissa kutsutaan avaruuden luonteeksi ja sitä merkitään . $X$ $x\in X$ $X$ $\chi (X)$
Avaruuksia, joilla on jokaisessa pisteessä laskettava paikallinen kanta, kutsutaan avaruuksiksi, joilla on ensimmäinen laskettavuuden aksiooma .
X :n avoimien joukkojen perhe on kanta, jos ja vain, jos jokaiselle pisteelle kaikkien pisteen sisältävien alkioiden alaryhmä on pisteen paikallinen kanta . ${\mathfrak {B}}$ $x\in X$ $\mathfrak{B}(x)$ ${\mathfrak {B}}$ $x$ $x$

Naapuruusjärjestelmä on sellainen perhe , joka on kunkin tilan paikallinen tukikohta tietyssä pisteessä .

\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}

\mathfrak{B}(x)

X

x

x\in X

Esikanta on topologisen avaruuden avoimien osajoukkojen perhe siten, että kaikkien joukkojen joukko, jotka ovat äärellisen määrän alkioiden leikkauspisteet , muodostaa avaruuden kannan .

Y

X

Y

X

Suljettu kanta on perhe, jossa on kaikki lisäykset jonkin perustan elementteihin.

\pi

-kanta ( hilakanta ) on ei-tyhjien avoimien avaruuden osajoukkojen perhe siten , että mikä tahansa ei-tyhjä joukko, joka on avoin, sisältää joukon , eli Hausdorffin tiheää avaruutta . Mikä tahansa pohja on perusta. Päinvastoin ei pidä paikkaansa, esimerkiksi luonnollisten lukujen joukon Stone-Cech-tiivistyksessä joukon yksipisteisten osajoukkojen perhe on -kanta, mutta ei kanta.

{\mathfrak {B}}

X

X

{\mathfrak {B}}

{\mathfrak {B}}

X

\pi

\beta \mathbb{N}

\mathbb {N}

\pi

Pseudokanta on avoimien osajoukkojen perhe, jossa kaikkien sen kiinteän pisteen sisältävien elementtien leikkauspiste osuu yhteen tämän pisteen kanssa. Esiintyy vain T 1 - tiloissa . Esimerkki avaruudesta, jossa on laskettava pseudokanta ja jolla ei ole laskettavaa emästä, on nollien ja ykkösten sekvenssien avaruus diskreetillä topologialla (pseudokanta on joukko, joka koostuu kaikista sekvensseistä, joilla on kiinteä arvo jossain kohdassa).

Topologian määrittäminen kanta-, esikanta- ja naapurustojärjestelmän avulla

Satunnaisen joukon osajoukkojen perhe on jonkin topologian perusta, jos ja vain jos se täyttää seuraavat ehdot: ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$

Jokainen piste kuuluu johonkin perheen joukkoon . $x\in X$ $U$ ${\mathfrak {B}}$
Kaikille joukoille ja mille tahansa pisteelle on olemassa joukko sellainen, että . $U,V\in {\mathfrak {B}}$ $x\in U\cap V$ $W\in {\mathfrak {B}}$ $x\in W\subset U\cap V$

Tässä tapauksessa se on topologian perusta , jossa joukot ovat avoimia silloin ja vain, jos ne voidaan esittää joidenkin :n osajoukkojen liittona . Tällaista topologiaa kutsutaan tukikohdan generoimaksi topologiaksi .

{\mathfrak {B}}

X

{\mathfrak {B}}

{\mathfrak {B}}

Jotta mielivaltaisen joukon osajoukkojen perhe voisi olla jonkin topologian esikanta kohdassa , on välttämätöntä ja riittävää, että yllä oleva ehto 1 täyttyy. Lisäksi tässä topologiassa ovat avoimia ne ja vain ne joukot, jotka voidaan esittää muodossa joidenkin osajoukkojen rajallisten leikkauspisteiden liitto . Tällaista topologiaa kutsutaan prebase-generated topologiaksi . Tämä on pienin perheen sisältävä topologia . ${\mathfrak {B}}$ $X$ $X$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$

Satunnaisen joukon osajoukkojen perheiden joukko on jonkin topologian aluejärjestelmä, jos ja vain jos se täyttää seuraavat ehdot: $\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}$ $X$ $X$

Jokaiselle perhe on ei-tyhjä ja kaikille . $x\in X$ $\mathfrak{B}(x)$ $x\in U$ $U\in {\mathfrak {B}}(x)$
Jokaiselle on sellainen . $y\in U\in {\mathfrak {B}}(x)$ $V\in {\mathfrak {B}}(y)$ $V\alajoukko U$
Jokaiselle joukolle on olemassa sellainen, että . $V,W\in {\mathfrak {B}}(x)$ $U\in {\mathfrak {B}}(x)$ $U\alajoukko V\cap W$

Tässä tapauksessa on topologian naapuruusjärjestelmä , joka koostuu kaikista osajoukoista, jotka voidaan edustaa perheen alaperheiden liittona . Tällaista topologiaa kutsutaan naapuruusjärjestelmän generoimaksi topologiaksi .

\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}

X

\bigcup _{{x\in X}}{\mathfrak {B}}(x)

\{{\mathfrak {B}}(x)\}_{{x\in X}}

Esimerkkejä

Minkä tahansa topologisen avaruuden perusta on kaikkien sen avoimien joukkojen perhe.
Diskreetin topologian perustana on kaikkien sen yhden pisteen osajoukkojen perhe.
Jos ja ovat topologisia avaruuksia, joissa on topologioiden ja kanta , niin karteesisen tulon topologia saadaan kantasta $X$ $Y$ $\mathfrak{B}_X$ $\mathfrak{B}_Y$ $X\kertaa Y$

\mathfrak{B}_{X\times Y} = \{U\times V\,: U\in\mathfrak{B}_X,\,V\in\mathfrak{B}_Y\}

Tässä tapauksessa topologia päällä ei riipu siitä, mitä väliavaruuksien X ja Y kantoja käytetään sen määrittämiseen. Tällaista topologiaa kutsutaan topologisten avaruuden karteesisen tuotteen (standardi) topologiaksi .

X\kertaa Y

Reaalilukuavaruuden topologia saadaan kaikkien välien järjestelmästä , joka muodostaa tämän topologian perustan. Samoin avaruuden topologia saadaan avoimien pylväiden kantasta , ja tämä topologia on ilmeisesti sama kuin välilyöntien suoratulon standarditopologia. $\mathbb {R}$ $(a, b)$ ${\R}^n$ $(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times\dots\times(a_n,b_n)$
Järjestetty topologia määritellään yleensä topologiaksi, joka on muodostettu joukon avoimen aikavälin joukkoja.
Metrinen topologia määritellään yleensä topologiaksi, joka on muodostettu tietyn metriikan antamien avoimien pallojen joukosta .

Katso myös

Yesenin-Volpin lause
Kiinnitysaksiooma
Pohjan pohja

Kirjallisuus

Alexandrov PS, Kolmogorov AN Johdatus joukkojen ja funktioiden yleiseen teoriaan. - M.-L., 1948.
Uryson PS Proceedings topologiasta ja muista matematiikan alueista. - V. 1-2. - M.-L., 1951.
Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Johdatus ulottuvuusteoriaan. Johdatus topologisten avaruuksien teoriaan ja yleiseen ulottuvuusteoriaan. - M., 1973.
Arkhangelsky A. V., Ponomarev V. I. Yleisen topologian perusteet ongelmissa ja harjoituksissa. - M., 1974.
Bourbaki N. Yleinen topologia. Perusrakenteet / Per. ranskasta - M., 1968.
Engelking, R. Yleinen topologia. — M .: Mir , 1986. — 752 s.
Kelly, J. L. Yleinen topologia. - M .: Nauka, 1968.

Linkit

Topologian perusta - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . A. A. Maltsev