Fubinin pieni lause

Fubinin pieni lause on termi -termi- erottelulause monotonisille funktioille , joka sanoo:

Kaikkialla konvergentti sarja monotonisia (ei-pieneneviä) toimintoja:

myöntää termien välisen eron lähes kaikkialla:

Todiste

Ilman yleisyyden menettämistä voimme olettaa, että kaikki funktiot ovat ei-negatiivisia ja ovat yhtä kuin nolla ; muussa tapauksessa voit korvata . Ei-pienenevien funktioiden sarjan summa on tietysti ei-pienevä funktio.

Harkitse joukkoa täydellisiä mittareita, joihin kaikki ja olemassa . Kaikille , joita meillä on:

Koska vasemmalla olevat termit eivät ole negatiivisia, mille tahansa

Ylittämällä rajan kohdassa , saamme:

mistä, pyrkien ja ottaen huomioon, että kaikki eivät ole negatiivisia, löydämme:

Osoittakaamme, että itse asiassa melkein kaikille tasa-arvomerkki pätee tässä. Etsitään sarjan (1) tietylle osasummalle , jolle:

Erosta lähtien

 on ei-vähentävä funktio, niin kaikille

ja näin ollen sarja ei-pieneneviä toimintoja

suppenee (jopa tasaisesti) koko segmentillä .

Mutta sitten, mitä on todistettu, myös derivaatan sarja suppenee lähes kaikkialla. Tämän sarjan yleinen termi on yleensä nolla melkein kaikkialla, ja siksi melkein kaikkialla . Mutta jos epäyhtälöllä (2) olisi merkki , niin millään osittaissummien sarjalla ei voisi olla rajaa . Siksi epätasa -arvossa (2), melkein jokaisessa , tasa-arvon merkin on tapahduttava, minkä olemme väittäneet.