Fubinin pieni lause

Fubinin pieni lause on termi -termi- erottelulause monotonisille funktioille , joka sanoo:

Kaikkialla konvergentti sarja monotonisia (ei-pieneneviä) toimintoja:

\sum _{{n=1}}^{\infty }F_{n}(x)=F(x)\qquad (1)

myöntää termien välisen eron lähes kaikkialla:

\sum _{{n=1}}^{\infty }F_{n}'(x)=F'(x).

Todiste

Ilman yleisyyden menettämistä voimme olettaa, että kaikki funktiot ovat ei-negatiivisia ja ovat yhtä kuin nolla ; muussa tapauksessa voit korvata . Ei-pienenevien funktioiden sarjan summa on tietysti ei-pienevä funktio. $F'(x)$ $x=a$ $F_{n}(x)$ $F_{n}(x)-F_{n}(a)$

Harkitse joukkoa täydellisiä mittareita, joihin kaikki ja olemassa . Kaikille , joita meillä on: $E$ $F_{n}'(x)$ $F'(x)$ $x\alajoukko E$ $\varepsilon$

{\frac {\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }[F_{n}(\varepsilon )-F_{n}(x)]}{\varepsilon -x}}={\ frac {F(\varepsilon )-F(x)}{\varepsilon -x}}.

Koska vasemmalla olevat termit eivät ole negatiivisia, mille tahansa $N$

{\frac {\sum \limits _{{n=1}}^{N}[F_{n}(\varepsilon )-F_{n}(x)]}{\varepsilon -x}}\leqslant {\ frac {F(\varepsilon )-F(x)}{\varepsilon -x}}.

Ylittämällä rajan kohdassa , saamme: $\varepsilon \to x$

\sum _{{n=1}}^{N}F_{n}'(x)\leqslant F'(x),

mistä, pyrkien ja ottaen huomioon, että kaikki eivät ole negatiivisia, löydämme: $N$ $\infty$ $F_{n}'(x)$

\sum _{{n=1}}^{\infty }F_{n}'(x)\leqslant F'(x).\qquad (2)

Osoittakaamme, että itse asiassa melkein kaikille tasa-arvomerkki pätee tässä. Etsitään sarjan (1) tietylle osasummalle , jolle: $x$ $k$ $S_{{nk}}(x)$

0\leqslant F(b)-S_{{nk}}(b)\prec {\frac {1}{2^{k}}}.\quad (k=1,\;2,\;\ldots )

Erosta lähtien

F(x)-S_{{nk}}(x)=\sum _{{j\succ nk}}F_{j}(x)

on ei-vähentävä funktio, niin kaikille

x

0\leqslant F(x)-S_{{nk}}(x)\prec {\frac {1}{2^{k}}}

ja näin ollen sarja ei-pieneneviä toimintoja

\sum _{{k=1}}^{\infty }[F(x)-S_{{nk}}(x)]

suppenee (jopa tasaisesti) koko segmentillä . $a\leqslant x\leqslant b$

Mutta sitten, mitä on todistettu, myös derivaatan sarja suppenee lähes kaikkialla. Tämän sarjan yleinen termi on yleensä nolla melkein kaikkialla, ja siksi melkein kaikkialla . Mutta jos epäyhtälöllä (2) olisi merkki , niin millään osittaissummien sarjalla ei voisi olla rajaa . Siksi epätasa -arvossa (2), melkein jokaisessa , tasa-arvon merkin on tapahduttava, minkä olemme väittäneet. $F'(x)-S_{{nk}}'(x)$ $S_{{nk}}'(x)\to F'(x)$ $<$ $F'(x)$ $x$