Krylov-Bogolyubovin menetelmä

Krylov-Bogolyubovin menetelmä on menetelmä, jolla saadaan likimääräisiä analyyttisiä ratkaisuja epälineaarisille differentiaaliyhtälöille, joilla on pieni epälineaarisuus.

Kuvaus

Tarkastellaan dynaamista järjestelmää, jolla on pieni epälineaarisuus [1] :

{\piste {x}}=Gx+\mu F(x,\mu ,t)

(yksi)

Tässä on järjestelmän tilavektori komponenteilla, on vakio neliömatriisi, on pieni parametri, on tilavektorin epälineaarinen vektorifunktio , pieni parametri ja aika . $x$ $2n$ $G$ $\mu$ $F$ $x$ $\mu$ $t$

Klo , järjestelmästä tulee lineaarinen. Yksi sen jaksollisista ratkaisuista voidaan kirjoittaa seuraavasti: $\mu=0$

{\displaystyle x_{0}=AVe^{i(\omega t+\theta )))

(2)

Tässä , on mielivaltainen vakio, on matriisin ominaisvektori , on yksi järjestelmän useista luonnollisista taajuuksista ja on mielivaltainen vakio. $A$ $V$ $G$ $\omega$ $\theta$

Etsimme järjestelmän (1) ratkaisua pienen parametrin potenssien sarjan muodossa : $\mu \neq 0$ $\mu$

x=x_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }\mu ^{k}u_{k}(A,\psi ,\mu t)

(3)

Tässä ovat tuntemattomat vektorifunktiot ja . ja - hitaasti muuttuva amplitudi ja vaihe, jotka täyttävät yhtälöt: $\psi =\omega t+\theta ,u1,u2,...$ $A,\psi$ ${\näyttötyyli \mu t}$ $A$ $\theta$

{\frac {dA}{dt}}=\mu f_{1}(A,\theta ,\mu t)+\mu ^{2}f_{2}(A,\theta ,\mu t )+...

(neljä)

{\frac {d\theta }{dt}}=\mu h_{1}(A,\theta ,\mu t)+\mu ^{2}h_{2}(A,\theta ,\ mu t)+...

(5)

Laske derivaatta sarjana lausekkeiden (3, 4, 5) perusteella: ${\piste {x}}$ $\mu$

{\piste {x}}=i\omega AVe^{i\psi }+\mu \left[f_{1}Ve^{i\psi }+iAh_{1}Ve^{i\psi } +\omega {\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}\right]+\mu ^{2}\left[f_{2}Ve^{i\psi }+iAh_{2} Ve^{i\psi }+{\frac {\partial u_{1}}{\partial (\mu t)))+f_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial A} }+h_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}+\omega {\frac {\partial u_{2}}{\partial \psi }}\right]+. ..

(6)

Esitämme myös yhtälön (1) epälineaarisen osan sarjana pienessä parametrissa:

\mu F(x,\mu ,t)=\mu F_{1}+\mu ^{2}F_{2}+...

(7)

missä $F_{1}=F(x_{0},0,t),F_{2}={\frac {\partial F(x_{0},0,t)}{\partial x}}u_ {1}+{\frac {\partial F(x_{0},0,t)}{\partial \mu )),...$

Kun yhtälön (1) vasemmalla ja oikealla puolella olevat termit ovat samat pienen parametrin potenssien kanssa , saadaan yhtälöjärjestelmä tuntemattomien funktioiden määrittämiseksi yhtälöstä (3): $\mu$ ${\näyttötyyli u_{j))$

\omega {\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}+Gu_{1}=-f_{1}Ve^{i\psi }-iAh_{1}Ve^{i \psi }+F_{1}

(kahdeksan)

\omega {\frac {\partial u_{2}}{\partial \psi }}+Gu_{2}=-f_{2}Ve^{i\psi }-iAh_{2}Ve^{i \psi }-{\frac {\partial u_{1}}{\partial (\mu t)))-f_{1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial A}}-h_{ 1}{\frac {\partial u_{1}}{\partial \psi }}+F_{2}

(9)

...

Laajennetaan vektorifunktiot Fourier-sarjoiksi hitaasti vaihtelevilla kertoimilla: ${\näyttötyyli u_{j},F_{j}}$

u_{j}(A,\psi ,\mu t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }U_{j}^{(m)}(A,\theta ,\ mu t)e^{im\psi }

(kymmenen)

F_{j}(A,\psi ,\mu t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }F_{j}^{(m)}(A,\theta ,\ mu t)e^{im\psi }

(yksitoista)

Seuraavaksi korvaamme (10), (11) osaksi (8), (9) ja yhtälöstämme kertoimet jokaiselle harmoniselle yhtälön molemmissa osissa, saamme epähomogeenisten yhtälöiden järjestelmän suhteessa . ${\displaystyle U_{j}^{(m)))$

Saadaksemme ensimmäisen approksimation yhtälöt kohdista (8), (10), (11) muodostamme yhtälön vektorifunktion määrittämiseksi ${\displaystyle U_{1}^{(m)))$

(G+im\omega E)U_{1}^{(m)}=-(f_{1}+iAh_{1})\delta _{m1}V+F_{1}^{(m) )}

(12)

Yhteensopivuusehto järjestelmälle (12) osoitteessa on muotoa: $m = 1$

: (13)

-f_{1}CV-iAh_{1}CV+CF_{1}^{(1)}=0

Erottelemalla todelliset ja kuvitteelliset osat kohdassa (13), löydämme:

f_{1}(A,\theta ,\mu t)=Re\left[{\frac {1}{\sum _{k=1}^{2n}c_{kk))}\sum _ {k=1}^{2n}{\frac {c_{kk}}{V_{k}}}F_{1k}^{(1)}(A,\theta ,\mu t)\oikea]

(neljätoista)

h_{1}(A,\theta ,\mu t)={\frac {1}{A}}Im\left[{\frac {1}{\sum _{k=1}^{2n }c_{kk}}}\sum _{k=1}^{2n}{\frac {c_{kk}}{V_{k}}}F_{1k}^{(1)}(A,\theta ,\mu t)\right]

(viisitoista)

Toisessa approksimaatiossa löydämme ensin yhtälöjärjestelmästä (12) vektorit . Ottaen huomioon, että kohdassa , vektori määritetään mielivaltaiseen vakioon asti, se voidaan esittää seuraavasti: ${\displaystyle U_{1}^{(m)))$ $m = 1$ ${\displaystyle U_{1}^{(1)))$

{\displaystyle U_{1}^{(1)}=AV^{(1)))

(16)

Sitten korvataan sarjat (10), (11) yhtälöjärjestelmään (9). Ottaen huomioon (16) saamme:

(G+im\omega E)U_{2}^{(m)}=-\left[(f_{2}+iAh_{2})V^{(1)}+(f_{1} +iAh_{1})V^{(1)}+A\left({\frac {\partial V^{(1))){\partial (\mu t)))+f_{1}{\frac {\osittais V^{(1))){\osittainen A}}+h_{1}{\frac {\osittinen V^{(1))){\osittainen \theta }}\oikea)\oikea]\ delta _{m1}-\vasen[{\frac {\osittais U_{1}^{(m))){\osittais (\mu t)))+f_{1}{\frac {\osittais U_{1 }^{(m)}}{\osittais A}}+h_{1}{\frac {\osittinen U_{1}^{(m))){\osittainen \theta }}+imh_{1}U_{ 1}^{(m)}\oikea](1-\delta _{m1})+F_{}^{}

(17)

Yhtälöjärjestelmän (17) yhteensopivuusehdosta kohdassa , voimme määrittää ja . Kolmannen ja korkeamman likiarvon termit löytyvät samalla tavalla. Tuloksena saadaan lauseke järjestelmän tilavektorille x $m = 1$ ${\displaystyle f_{2))$ ${\displaystyle h_{2))$

x=A\left[V+\mu V^{(1)}(A,\theta ,\mu t)+\mu ^{2}V^{(2)}(A,\theta ,\ mu t)+...\right]e^{i\psi }+...

(kahdeksantoista)

Tässä amplitudi ja vaihe täyttävät yhtälöt (4), (5). $A$ $\theta$

Katso myös

Pienen parametrin menetelmä

Muistiinpanot

↑ Guljajev, 1989 , s. 102.

Kirjallisuus

Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E .,. Värähtelyn teoria. - M .: Nauka, 1981.
Bogolyubov N. N. , Mitropolsky Yu. A .,. Asymptoottiset menetelmät epälineaaristen värähtelyjen teoriassa. - M .: Nauka, 1963.
Guljajev V.I. , Bazhenov V.A. , Popov S.L .,. Mekaanisten järjestelmien epälineaaristen värähtelyjen teorian sovelletut ongelmat. - M . : Higher School, 1989. - 383 s. - ISBN 5-06-000091-5 .