Thomas-Fermin teoria

Thomas-Fermin teoria ( Thomas-Fermi- malli ) on kvanttimekaaninen teoria monikappalejärjestelmän elektronisesta rakenteesta, joka kehitettiin käyttämällä puoliklassista approksimaatiota pian sen jälkeen , kun Enrico Fermi ja Luellin Thomas löysivät Schrödingerin yhtälön [1] [ 1]. 2] . Se ei perustu aaltofunktioon , vaan se on muotoiltu elektronitiheyden kannalta ja sitä pidetään nykyaikaisen tiheysfunktionaalisen teorian edelläkävijänä . Thomas-Fermin malli on oikea vain äärettömän ydinvarauksen rajalla. Käyttämällä tätä approksimaatiota todellisille järjestelmille teoria antaa huonoja kvantitatiivisia ennusteita eikä edes pysty toistamaan joitain yhteisiä piirteitä, kuten atomien kuorirakenteen tiheyttä ja Friedel-värähtelyjä kiinteissä aineissa. Se on kuitenkin löytänyt sovelluksia monilla alueilla, koska se pystyy saavuttamaan oikean laadullisen käyttäytymisen analyyttisesti ja sen helppouden ansiosta. Thomas-Fermin kineettisen energian lauseketta käytetään myös komponenttina kineettisen energiatiheyden monimutkaisempaan approksimaatioon nykyaikaisissa tiheysfunktionaalisissa teorioissa , joissa kiertoradat voidaan jättää käyttämättä .

Kineettinen energia

Pienen tilavuuden alkuaineelle ΔV ja perustilassa olevalle atomille voidaan täyttää pallomaiseen liikemääräavaruuteen tilavuus V f Fermi-liikemäärään p f asti , ja siten [3]

V_{f}={\frac {4}{3}}\pi p_{f}^{3}({\vec {r}}),

missä on piste ΔV . $\vec{r}$

Vastaavalla vaihetilalla on tilavuus

\Delta V_{ph}=V_{f}\ \Delta V={\frac {4}{3}}\pi p_{f}^{3}({\vec {r}})\ \ Delta V.

Elektronit ΔV ph :ssa jakautuvat tasaisesti, kaksi elektronia tämän faasitilan tilavuuden h 3: ssa, missä h on Planckin vakio. [4] Silloin elektronien lukumäärä ΔV ph :ssa on

\Delta N_{ph}={\frac {2}{h^{3}}}\ \Delta V_{ph}={\frac {8\pi }{3h^{3}}}p_{ f}^{3}({\vec {r)))\ \Delta V.

Elektronien lukumäärä ΔV :ssä:

\Delta N=n({\vec {r)))\ \Delta V,

missä on elektronitiheys. $n({\vec {r)))$

Yhtälöimällä elektronien lukumäärän yksiköissä ΔV ja ΔV ph saadaan

n({\vec {r)))={\frac {8\pi }{3h^{3}}}p_{f}^{3}({\vec {r}}).

Elektronien osa, jonka liikemäärä on momenttien p ja p+dp välillä, on ${\vec {r))$

{\begin{aligned}F_{\vec {r}}(p)dp&={\frac {4\pi p^{2}dp}{{\frac {4}{3}}\pi p_ {f}^{3}({\vec {r))))}\qquad \qquad p\leq p_{f}({\vec {r)))\\&=0\qquad \qquad \qquad \ quad {\text{muutoin}}\\\end{aligned}}

Käyttämällä klassista lauseketta elektronin kineettiselle energialle, jonka massa on m e , kineettinen energia tilavuusyksikköä kohti in atomin elektroneille ${\vec {r))$

{\begin{aligned}t({\vec {r)))&=\int {\frac {p^{2}}{2m_{e}}}\ n({\vec {r}} )\ F_{\vec {r}}(p)\ dp\\&=n({\vec {r}})\int _{0}^{p_{f}({\vec {r}}) }{\frac {p^{2}}{2m_{e}}}\ \ {\frac {4\pi p^{2}}{{\frac {4}{3}}\pi p_{f} ^{3}({\vec {r))))}\ dp\\&=C_{F}\ [n({\vec {r)))]^{5/3},\end{tasattu} }

missä edellistä lauseketta käytettiin, liittyvät ja ja $n({\vec {r)))$ $p_{f}({\vec {r)))$

C_{F}={\frac {3t^{2}}{10m_{e}}}\left({\frac {3}{8\pi }}\right)^{\frac {2} {3}}.

Kineettisen energian integrointi tilavuusyksikköä kohti koko tilassa johtaa elektronien kokonaiskineettiseen energiaan: [5] $t({\vec {r)))$

T=C_{F}\int [n({\vec {r)))]^{5/3}\ d^{3}r\ .

Tämä tulos osoittaa, että elektronien kokonaiskineettinen energia voidaan ilmaista Thomas-Fermin mallin mukaan vain spatiaalisesti riippuvaisella elektronitiheydellä. Siksi he pystyivät laskemaan atomin energian käyttämällä tätä kineettisen energian lauseketta yhdistettynä klassisiin ydin-elektroni- ja elektroni-elektroni-vuorovaikutuksiin (jotka voidaan esittää elektronitiheydellä). $n({\vec {r)))$

Potentiaalinen energia

Positiivisesti varautuneen ytimen sähköisen vetovoiman aiheuttama atomin elektronien potentiaalienergia:

U_{eN}=\int n({\vec {r)))\ V_{N}({\vec {r)))\ d^{3}r,

missä on elektronin potentiaalienergia pisteessä , joka sijaitsee ytimen sähkökentässä. Siinä tapauksessa, että ydin on pisteessä (ytimen varaus on Ze , missä Z on luonnollinen luku, e on alkuvaraus ): $V_{N}({\vec {r)))$ ${\vec {r))$ ${\vec {r}}=0$

V_{N}({\vec {r)))={\frac {-Ze^{2}}{r}}.

Elektronien keskinäisestä sähköisestä hylkimisestä johtuva potentiaalienergia on

U_{ee}={\frac {1}{2}}\ e^{2}\int {\frac {n({\vec {r}})\ n({\vec {r}} \,')}{\left\vert {\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\right\vert }}\ d^{3}r\ d^{3}r'.

Kokonaisenergia

Elektronien kokonaisenergia on yhtä suuri kuin niiden kineettisten ja potentiaalisten energioiden summa: [6]

{\begin{aligned}E&=T\ +\ U_{eN}\ +\ U_{ee}\\&=C_{F}\int [n({\vec {r)))]^{ 5/3}\ d^{3}r\ +\int n({\vec {r)))\ V_{N}({\vec {r)))\ d^{3}r\ +\ { \frac {1}{2}}\ e^{2}\int {\frac {n({\vec {r}})\ n({\vec {r}}\,')}{\left\ vert {\vec {r}}-{\vec {r}}\,'\right\vert }}\ d^{3}r\ d^{3}r'.\\\end{aligned}}

Muistiinpanot

↑ Thomas, LH Atomikenttien laskeminen (määrittämätön) // Proc. Cambridge Phil. Soc .. - 1927. - T. 23 , nro 5 . - S. 542-548 . - doi : 10.1017/S0305004100011683 . - .
↑ Fermi, Enrico. Un Metodo Statistico per la Determinazione di alcune Prioprietà dell'Atomo (italia) // Rend. Accad. Naz. Lincei: päiväkirja. - 1927. - V. 6 . - s. 602-607 . Arkistoitu alkuperäisestä 15. joulukuuta 2019.
↑ Maaliskuu 1992, s. 24
↑ Parr ja Yang 1989, s. 47
↑ Maaliskuu 1983, s. 5, Equ. yksitoista
↑ Maaliskuu 1983, s. 6, Equ. viisitoista

Kirjallisuus

R. G. Parr ja W. Yang. Atomien ja molekyylien tiheysfunktionaalinen teoria . - New York: Oxford University Press , 1989. - ISBN 978-0-19-509276-9 .
NH maaliskuu. Atomien ja molekyylien elektronitiheysteoria . - Academic Press , 1992. - ISBN 978-0-12-470525-8 .
NH maaliskuu. 1. Origins - Thomas-Fermin teoria // Epähomogeenisen elektronikaasun teoria (määrittelemätön) / S. Lundqvist ja NH March. - Plenum Press , 1983. - ISBN 978-0-306-41207-3 .