Multiplikatiivinen funktio

Kertova funktio lukuteoriassa on aritmeettinen funktio , jossa kaikki koprime-luvut ja , seuraavat: $f(m)$ $m_1$ $m_2$

f(m_1 m_2) = f(m_1)f(m_2)

f(1)=1

Kun ensimmäinen ehto täyttyy, vaatimus vastaa sitä tosiasiaa, että funktio ei ole sama kuin nolla. $f(1)=1$ $f(m)$

Funktioita , joiden multiplikatiivisuusehto täyttyy luonnollisille , kutsutaan täysin kerrannaisvaikutuksiksi . Funktio on täysin kertova jos ja vain jos relaatio pätee mille tahansa luonnolliselle luvulle . $f(m)$ $m_{1}, m_{2}$ $f$ $x,y$ $f(xy)=f(x)f(y)$

Multiplikatiivisen funktion sanotaan olevan vahvasti kerrannainen , jos:

f(p^\alpha) = f(p)

kaikille alkuluvuille ja kaikille luonnollisille . $s$ $\alpha$

Esimerkkejä:

funktio on luonnollisen funktion luonnollisten jakajien lukumäärä ; $\tau(m)$ $m$
funktio on luonnollisen luonnollisten jakajien summa ; $\sigma(m)$ $m$
Euler-funktio ; $\varphi(m)$
Möbius-funktio . $\äiti)$
funktio on voimakkaasti multiplikatiivinen. $\frac{\varphi(m)}{m}$
tehofunktio on täysin kertova. $f(m) = m^\alfa$

Rakennus

Aritmetiikan peruslauseesta seuraa, että alkulukujen ja niiden potenssien kertovan funktion arvot voidaan asettaa mielivaltaisesti ja myös määrittää, että kaikki muut tuloksena olevan funktion arvot määritetään kertolaskuominaisuudesta. $f(n)$ $f(1)=1;$

Kaikkien kerrannaisfunktioiden tulo on myös kertova funktio.

Jos on kertova funktio, niin funktio $f(m)$

g(m) = \sum_{d|m} f(d)

on myös kertova. Kääntäen, jos tämän suhteen määrittelemä funktio on kertova, niin alkuperäinen funktio on myös kertova. $g(m)$ $f(m)$

Lisäksi, jos ja ovat multiplikatiivisia funktioita, niin niiden Dirichlet-konvoluutio on myös kertova : $f(m)$ $g(m)$

h(m) = \sum_{d|m} f(d) g\left(\frac{m}{d}\right)

Kirjallisuus

Graham R., Knut D., Patashnik O. Concrete Mathematics. - M . : "Mir", 1998. - 703 s. — ISBN 5-03-001793-3 .
Nesterenko Yu. V. Numeroteoria : oppikirja opiskelijoille. korkeampi oppikirja laitokset. - M . : Publishing Center "Academy", 2008. - 272 s. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .