Aritmeettinen funktio

Aritmeettinen funktio on luonnollisten lukujen joukkoon määritetty funktio , joka ottaa arvot kompleksilukujoukosta . $\mathbb {N}$ $\mathbb {C}$

Määritelmä

Kuten määritelmästä seuraa, aritmeettinen funktio on mikä tahansa funktio

f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C}

Aritmeettisen funktion nimi johtuu siitä, että lukuteoriassa on monia luonnollisen argumentin funktioita, jotka ilmaisevat tiettyjä aritmeettisia ominaisuuksia . Siksi aritmeettinen funktio ymmärretään epävirallisesti funktiona , joka "ilmaisee jonkin luonnollisen luvun aritmeettisen ominaisuuden" (katso esimerkkejä aritmeettisista funktioista alla ). $f(n)$ $n$ $f(n)$ $n$

Monet lukuteoriassa tarkastellut aritmeettiset funktiot ovat itse asiassa kokonaislukuarvoisia.

Toiminnot ja niihin liittyvät käsitteet

Aritmeettisen funktion summa on funktio, joka määritellään muodossa $f$ $F:[0,+\infty )\to \mathbb {C}$

F(x)=\sum _{n\leq x}f(n).

Tämä operaatio on määrittelemättömän integraalin "diskreetti analogi"; tässä tapauksessa, vaikka alkuperäinen funktio määriteltiin vain kohdassa , on kätevää tarkastella sen summaa määritellyksi koko positiivisella puoliakselilla (ja tietysti se on paloittain vakio). $\mathbb {N}$

Kahden aritmeettisen funktion f ja g Dirichlet-konvoluutio on säännön määrittelemä aritmeettinen funktio h

h(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d).

Aritmeettinen funktio f voidaan yhdistää sen "generoivaan funktioon" - Dirichlet-sarjaan

\Phi _{f}(s)=\sum _{n}f(n)n^{-s}.

Tässä tapauksessa kahden aritmeettisen funktion Dirichlet-konvoluutio vastaa niiden generoivien funktioiden tulosta.

Pistekerto logaritmilla,

f\mapsto f',\quad f'(n)=f(n)\cdot \ln n,

on johdannainen aritmeettisten funktioiden algebrasta: konvoluution suhteen se täyttää Leibnizin säännön,

(f*g)'=f'*g+f*g'.

Siirtyminen generoivaan funktioon muuttaa tämän operaation tavalliseksi differentiaatioksi.

Merkittäviä aritmeettisia funktioita

Jakajien lukumäärä

Aritmeettinen funktio määritellään luonnollisen luvun positiivisten jakajien lukumääränä : $\tau \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $n$

\tau (n)=\sum _{d|n}1

Jos ja ovat koprime , niin tuotteen jokainen jakaja voidaan yksilöllisesti esittää jakajien ja jakajien tulona , ja päinvastoin, jokainen tällainen tulo on jakaja . Tästä seuraa, että funktio on kertova : $m$ $n$ $mn$ $m$ $n$ $mn$ $\tau$

\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)

Jos on luonnollisen kanoninen hajoaminen , niin multiplicatiivisuuden vuoksi $n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i))$ $n$

\tau (n)=\tau (p_{1}^{s_{1)))\tau (p_{2}^{s_{2)))\ldots \tau (p_{r}^{ s_{r)))

Koska luvun positiiviset jakajat ovat numeroita , Sitten $p_{i}^{s_{i))$ $s_{i}+1$ $1,p_{i},\ldots ,p_{i}^{s_{i))$

\tau (n)=(s_{1}+1)(s_{2}+1)\ldots (s_{r}+1)

Suuren kokonaisluvun n jakajien määrä kasvaa keskimäärin [1] . Tarkemmin, katso Dirichlet-kaava . ${\näyttötyyli \ln n}$

Jakajien summa

Funktio määritellään luonnollisen luvun jakajien summana : $\sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $n$

\sigma (n)=\sum _{d|n}d

Yleistämällä funktiot ja mielivaltaiselle, yleisesti ottaen kompleksille , voidaan määrittää - luonnollisen luvun positiivisten jakajien potenssien summa : $\tau (n)$ $\sigma(n)$ $k$ $\sigma _{k}(n)$ $k$ $n$

{\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{d|n}d^{k))

Iversonin notaatiota käyttämällä voidaan kirjoittaa

\sigma _{k}(n)=\sum _{d}d^{k}[\,d|n\,]

Funktio on kertova: ${\displaystyle \sigma _{k))$

m\perp n\Rightarrow ~\sigma _{k}(mn)=\sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)

Jos on luonnollisen kanoninen hajoaminen , niin $n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i))$ $n$

\sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(s_{i}+1)k}-1}{p_ {i}^{k}-1}}

Arvon n jakajien summa kasvaa keskimäärin cn:n lineaarifunktiona, jossa Eulerin löytämä vakio c on [1] . $c=\zeta (2)=\pi ^{2}/6$

Euler-funktio

Euler-funktio tai totient määritellään positiivisten kokonaislukujen lukumääräksi, joka ei ylitä arvoa . $\varphi (n)$ $n$ $n$

Iversonin notaatiota käyttämällä voidaan kirjoittaa:

\varphi (n)=\sum _{1\leq k\leq n}[k\perp n]

Euler-funktio on kertova:

m\perp n\Rightarrow ~\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)

Eksplisiittisessä muodossa Euler-funktion arvo ilmaistaan kaavalla:

\varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\ oikea)\dots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)

missä ovat eri alkujakajat . ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r))$ $n$

Möbius-funktio

Möbius-funktio voidaan määritellä aritmeettiseksi funktioksi, joka täyttää seuraavan suhteen: $\mu(n)$

\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1\end{cases))

Toisin sanoen Möbius-funktion arvojen summa positiivisen kokonaisluvun kaikkien jakajien välillä on nolla, jos , ja on yhtä suuri kuin jos . $n$ $n>1$ $yksi$ $n = 1$

Voidaan osoittaa, että vain yksi funktio täyttää tämän yhtälön, ja se voidaan antaa eksplisiittisesti seuraavalla kaavalla:

\mu (n)={\begin{cases}(-1)^{r},&n=p_{1}p_{2}\ldots p_{r}\\0,&p^{2}| n\\1,&n=1\end{cases}}

Tässä on useita alkulukuja, ja se on alkuluku. Toisin sanoen Möbius-funktio on yhtä suuri , ellei neliövapaa (eli jaollinen alkuluvun neliöllä), ja muutoin yhtä suuri (plus tai miinus valitaan alkujakajien lukumäärän pariteetin mukaan ). $p_{i}$ $s$ $\mu(n)$ $0$ $n$ $\pm 1$ $n$

Möbius-funktio on kertova funktio . Möbius-funktion merkitys lukuteoriassa johtuu Möbiuksen inversiokaavasta .

Muistiinpanot

↑ 1 2 V. ja Arnold. Galois'n kenttien dynamiikka, tilastot ja projektiiivinen geometria. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 s.

Katso myös

Multiplikatiivinen funktio

Kirjallisuus

Vinogradov I.M. Lukuteorian perusteet . - M. - L .: GITTL, 1952. - 180 s.
Nesterenko Yu. V. Numeroteoria : oppikirja opiskelijoille. korkeampi oppikirja laitokset. - M . : Publishing Center "Academy", 2008. - 272 s. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .
Chandrasekharan K. Johdatus analyyttiseen lukuteoriaan = Introduction to Analytic Number Theory. - M . : "Mir", 1974. - 188 s.