Luonnonyhtälöt

Luonnonyhtälöt - kaksisäännöllisten käyrien kaarevuuden ja vääntösuhteet . Luonnonyhtälöiden merkittävä ominaisuus on, että niistä voidaan ainutlaatuisella tavalla rekonstruoida käyrä . Luonnolliset yhtälöt, yhtälöt, jotka ilmaisevat käyrän kaarevuutta ja vääntöä sen kaaren funktiona: , . Nimi "luonnolliset yhtälöt" selittyy sillä, että funktiot ja $k$ $\varkappa$ $k=k(s)$ $\varkappa =\varkappa (s)$ $k(s)$ $\varkappa(s)$ eivät riipu käyrän sijainnista avaruudessa (koordinaattijärjestelmän valinnasta), vaan riippuvat vain käyrän muodosta. Kaksi kolmesti jatkuvasti differentioituvaa käyrää, joilla on samat luonnolliset yhtälöt, voivat erota toisistaan vain avaruudessa. Toisin sanoen käyrän muodon määräävät yksilöllisesti sen luonnolliset yhtälöt. Jos annetaan kaksi jatkuvaa funktiota ja , joista ensimmäinen on positiivinen, silloin on aina olemassa käyrä, jolle nämä funktiot ovat vastaavasti kaarevuus ja vääntö. $k(s)$ $\varkappa(s)$

Tasokäyrien luonnolliset yhtälöt

Antaa olla mielivaltainen sileä funktio. Tässä tapauksessa on olemassa käyrä , joka on ainutlaatuinen tason suuntaa säilyttävään liikkeeseen saakka, parametroituna luonnollisella parametrilla ja sellainen, että käyrän kaikissa pisteissä. Tässä määrä on käyrän suunnattu kaarevuus . $f(s)$ $\gamma$ $s$ $f(s)=k_{o}(s)$ $k_{o}(s)$ $\gamma$

Luonnonyhtälöt kolmessa ulottuvuudessa

Olkoon ja kaksi mielivaltaista sileää funktiota ja positiivinen. Sitten on olemassa luonnollisella parametrilla parametroitu käyrä , jonka kaarevuus ja vääntö ovat samat kussakin pisteessä ja vastaavasti. Tällainen käyrä on ainutlaatuinen tilan liikkeelle asti, joka säilyttää suunnan. $f(s)$ $g(s)$ $f(s)$ $\gamma$ $s$ $f(s)$ $g(s)$