Suuruusluokka

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 18.6.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 7 muokkausta .

Suuruusluokka on tiettyjä suureita ilmaiseva suureiden (tai asteikkojen) ekvivalenssiluokka , jonka sisällä kaikilla suureilla on kiinteä suhde edellisen luokan vastaaviin suureisiin. ${\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}=\lhakasulku {}x_{n}\rhakasulke$ $r={\frac {x_{n}}{x_{{n-1}}}}$

Useimmiten järjestyksen ei ole tarkoitus tarkoittaa itse ekvivalenssiluokkaa, vaan joitain sen numeerisia ominaisuuksia, jotka määrittävät tämän luokan tietyissä olosuhteissa (esimerkiksi luokan järjestysnumero , jos jokin luokka on määritelty tai oletettu). ${\mathcal {C}}_{n}$ $n$ ${\mathcal {C}}_{0}$

Numerojärjestys

Kun työskentelet numeroiden kanssa, jotka on edustettuna tietyssä numerojärjestelmässä, joka perustuu , useimmiten ota ja , . Samalla se on sama kuin luvun numeroiden lukumäärä, jos se on kirjoitettu paikkalukujärjestelmään . $b$ $r=b$ $1\in {\mathcal {C}}_{1}$ $b\in {\mathcal {C}}_{2}$ $n$

Esimerkiksi tässä tapauksessa desimaalilukujärjestelmässä jokainen positiivisten lukujen vuosikymmen kuuluu vain yhteen järjestykseen:

${\mathcal {C}}_{1}\supset \lbrace {}1,2,3,4,5,6,7,8,9\rhaulu$
${\mathcal {C}}_{2}\supset \lbrace {}10,20,30,40,50,60,70,80,90\rbrace$
${\mathcal {C}}_{3}\supset \lbrace {}100,200,300,400,500,600,700,800,900\rbrace$

Vastaavasti voit määrittää lukujärjestykset lukujärjestelmän muille kantajille. Useimmiten harkitaan

numeroiden perusjärjestykset , $b = 10$
perustilaukset $b = 2$
numeroiden perusjärjestykset . $b=e$

Numerojärjestys luonnollisella kielellä

Luonnollisissa kielissä on ilmaisuja kuten "suuruusluokkaa enemmän", "monin suuruusluokkaa enemmän", "pari suuruusluokkaa vähemmän". Useimmissa tapauksissa desimaalieksponentit ovat implisiittisiä, eli nämä lausekkeet voidaan lukea "noin kymmenen kertaa enemmän", "noin kerran enemmän, missä on tarpeeksi suuri", "noin 100 kertaa vähemmän". Viime aikoina on myös yleistynyt virheellinen ilmaisun "luokkaa N", jossa N on tietty luku. Samalla kontekstin perusteella on selvää, että tarkoitetaan "noin N", mikä ei tietenkään vastaa käsitteen "lukujärjestys" määritelmää. $10^{n}$ $n$

Numerojärjestys ja logaritminen funktio

Vierekkäisiin järjestyksiin kuuluvat vastaavat numerot voidaan kirjoittaa muodossa , jossa on ensimmäinen numeroista. Tämä ominaisuus määrittää yhteyden luvun järjestyksen käsitteen ja eksponentiaalisen ja käänteisen logaritmisen funktion välillä . ${\mathcal {C}}_{{n}},{\mathcal {C}}_{{n+1}},{\mathcal {C}}_{{n+2}},\ldots ,{ \mathcal {C}}_{{n+d}}$ $x,rx,r^{2}x,\ldots ,r^{d}x$ $x\in {\mathcal {C}}_{{n}}$

Erityisesti logaritmisen funktion käsitettä käyttäen voidaan muotoilla välttämätön ehto lukujen kuulumiselle samaan järjestykseen: Olkoon positiivisten lukujen joukolle annettu jokin osio järjestyksiksi. Jos kaksi numeroa ovat samassa järjestyksessä, niin . $\left|\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right|<1$

Todiste

Todellakin, olkoon numerot ja tilaukseen kuuluvat vähimmäis- ja enimmäismäärät . Jos numero kuuluu myös tilaukseen , sen arvon on täytettävä ehto . Samaan aikaan numerot ja kuuluvat tilausten viereisiin tilauksiin ja vastaavasti . Tästä seuraa, että mille tahansa numerolle tässä järjestyksessä relaatio pätee . $m\in {\mathcal {C}}_{n}$ $M\in {\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $x\in {\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $m\leq x\leq M$ $rm$ ${\frac {1}{r}}M$ ${\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{{n+1}}$ ${\mathcal {C}}_{{n-1}}$ $x$ ${\frac {1}{r}}M<m\leq x\leq M<rm$

Olkoon kaksi numeroa ja kuuluvat annettuun järjestykseen . Sitten . $x_{1}$ $x_{2}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $-1=\log _{r}{\frac {m}{rm}}<\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}<\log _{r}{ \frac {M}{{\frac {1}{r}}M}}=1$

Tilausero

Jos kaksi numeroa ja kuuluvat järjestyksiin ja jossain jaossa positiivisia lukuja järjestyksiin, niin arvoa kutsutaan joskus näiden numeroiden järjestyseroksi . $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}\in {\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ $x_{2}\in {\mathcal {C}}_{{n_{2}}}$ $d=d(x_{1},x_{2})=n_{2}-n_{1}$

Kahdelle numerolle ja niiden tilausten erot löytyvät kuten . $x_{1}$ $x_{2}$ $d=\left\lfloor \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right\rfloor$ $x_{2}\geq x_{1}$

Todiste

Valitsemme tilaukseen kuuluvan numeron, joka vastaa tilauksesta olevaa numeroa . Järjestyksen määritelmän mukaan on olemassa kokonaisluku sellainen, että . Me ymmärrämme sen . $x_{2}^{{\mathord {*}}}\in {\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ ${\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ $x_{2}$ ${\mathcal {C}}_{{n_{2}}}$ $d$ $x_{2}^{{\mathord {*}}}=r^{{-d}}x_{2}$ $\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=\log _{r}{\frac {r^{d}x_{2}^{{\mathord {*} }}}{x_{1}}}=d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*}}}}{x_{1}}}$

Numerot ja kuuluvat samaan järjestykseen ja siksi . Samaan aikaan luku on kokonaisluku, mikä tarkoittaa . $x_{1}$ $x_{2}^{{\mathord {*}}}$ $\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*}}}}{x_{1}}}<1$ $d$ $d=\left\lfloor {}d\right\rfloor =\left\lfloor {}d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*)))}{x_{1 ))}\right\rfloor =\left\lfloor \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right\rfloor$

Jos tilauksissa on eroja, ne otetaan joskus negatiivisella merkillä . $x_{2}\leq x_{1}$ $d(x_{1},x_{2})=-d(x_{2},x_{1})$

Järjestyseron yhtäläisyys nollaan on välttämätön ja riittävä ehto numeroiden kuulumiselle samaan järjestykseen.

Tilauseron yleistäminen

Joskus järjestyseron käsite yleistetään poistamalla vaatimus kuulumisesta kokonaislukujen luokkaan ja määrittelemällä se lausekkeen kautta . $d=\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}$

Tässä tulkinnassa ilmaukset, kuten "luvut ja eroavat enintään puolella suuruusluokkaa", saavat merkityksen, eli tai . $x_{1}$ $x_{2}$ $\left|\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|\leq {\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{{\sqrt {r}}}}x_{1}\leq x_{2}\leq {\sqrt {r}}x_{1}$

Katso myös

Linkit

Brians, Keskeytä suuruuskunnat . Haettu 9. toukokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 22. huhtikuuta 2017. (määrätön)
Suuruusluokka . wolfram mathworld . Haettu 3. tammikuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 6. tammikuuta 2017. (määrätön)

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4388665-6