Negafibonacci
Matematiikassa muut kuin Gafibonacci - luvut ovat Fibonacci-sekvenssin negatiivisesti indeksoituja elementtejä .
Negafibonacci-luvut määritellään induktiivisesti seuraavalla rekursiivisella suhteella:
- F − 1 = 1,
- F -2 = -1,
- F n = F (n+2) −F (n+1) .
Ne voidaan myös määritellä kaavalla F −n = (−1) n+1 F n .
Nega-Fibonacci-sekvenssin 10 ensimmäistä numeroa ovat:
| n | F( n ) |
|---|---|
| −1 | yksi |
| −2 | −1 |
| −3 | 2 |
| −4 | −3 |
| −5 | 5 |
| −6 | −8 |
| −7 | 13 |
| −8 | −21 |
| −9 | 34 |
| −10 | −55 |
Kokonaislukuesitys
Mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää yksiselitteisesti – Donald Knuthin [1] työn mukaan – ei-Fibonacci-lukujen summana, jotka eivät käytä kahta peräkkäistä ei-Fibonacci-lukua. Esimerkiksi:
- −11 = F −4 + F −6 = (-3) + (-8)
- 12 = F - 2 + F - 7 = (-1) + 13
- 24 = F − 1 + F− 4 + F− 6 + F −9 = 1 + (-3) + (-8) + 34
- −43 = F −2 + F −7 + F −10 = (-1) + 13 + (-55)
- 0 esitetään tyhjänä summana.
On huomionarvoista, että esimerkiksi 0 = F −1 + F −2 , joten esityksen ainutlaatuisuus riippuu todellakin ehdosta, jossa ei käytetä kahta peräkkäistä ei-Fibonacci-lukua.
Tämä sallii nega-Fibonacci-koodausjärjestelmän koodata kokonaislukuja , jotka ovat samankaltaisia kuin Zeckendorfin lauseessa lukujen transkoodaamiseksi binääriesityksen avulla. Jaksossa, joka edustaa kokonaislukua x , n , numero on 1, jos F n esiintyy summassa, joka edustaa x :tä ; tämä numero ei ole 0. Esimerkiksi lukua 24 voidaan esittää sekvenssillä 100101001, jonka numero 1 on paikoissa 9, 6, 4 ja 1, koska 24 = F −1 + F −4 + F − 6 + F - 9 . Kokonaislukua x edustaa pariton pituinen sekvenssi silloin ja vain jos .
Identiteetit
Suhteet normaaliin, positiiviseen Fibonacci-lukusarjaan:
