Bishop-Gromov epätasa-arvo

Bishop-Gromov-epäyhtälö on Riemannin geometrian vertailulause . Se on avainlause Gromovin kompaktisuuslauseen todistuksessa [1] .

Epätasa-arvo on nimetty Richard Bishopin ja Mihail Gromovin mukaan .

Sanamuoto

Olkoon täydellinen n - ulotteinen Riemannin monisto, jonka Ricci-kaarevuus on rajattu alapuolelle , ts. $M$

\mathrm {Ric} \geqslant (n-1)K

jatkuvalle . $K\in \mathbb {R}$

Merkitään pallolla , jonka säde on r pisteen p ympärillä , joka on määritelty suhteessa Riemannin etäisyysfunktioon . ${\displaystyle B(p,r)_{M))$

Olkoon n- ulotteinen malliavaruus . Toisin sanoen täydellinen n - ulotteinen yksinkertaisesti yhdistetty avaruus, jolla on vakio kaarevuus . Tällä tavalla, $\mathbb {M} ^{n}(K)$ $\mathbb {M} ^{n}(K)$ $K$

$\mathbb {M} ^{n}(K)$ on n -sädepallo , jos , tai $1/{\sqrt {K}}$ $K>0$
n - ulotteinen euklidinen avaruus , jos , tai $K = 0$
Lobachevsky-avaruus kaarevuus . $K<0$

Sitten mihin tahansa ja toimintoon $p\in M$ ${\tilde {p}}\in \mathbb {M} ^{n}(K)$

\phi (r)={\frac {\operaattorin nimi {Vol} B(p,r)_{M)){\operaattorin nimi {Vol} B({\tilde {p)),r)_{\ mathbb {M} ^{n}(K)}}}

ei kasva välissä . $(0,\infty )$

Muistiinpanot

Sillä , Epäyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti $K = 0$ ${\displaystyle \operatorname {Vol} B(p,\lambda \cdot r)_{M}\leqslant \lambda ^{n}\cdot \operatorname {Vol} B(p,r)_{M))$

osoitteessa .

\lambda \geqslant 1

Jos r pyrkii nollaan, suhde lähestyy yhtä, joten yhdessä monotonisuuden kanssa tämä tarkoittaa sitä $\operatorname {Vol} B(p,r)_{M}\leqslant \operatorname {Vol} B({\tilde {p)),r)_{\mathbb {M} ^{n}(K )}.$

Tämän version vahvisti ensimmäisenä piispa [2] [3] .

Katso myös

Myersin lause

Muistiinpanot

↑ Yu. D. Burago , V. A. Zalgaller , Johdanto Riemannin geometriaan 1991, s. 320, (22,5)
↑ Bishop, R. Tilavuuden, keskikaarevuuden ja halkaisijan välinen suhde. amer. Matematiikka. soc. Ei. 10 (1963), s. 364.
↑ Bishop RL, Crittenden RJ Jakoputkien geometria, Seuraus 4, s. 256