Chebyshevin eriarvoisuus summille

Pafnuti Lvovitš Tšebyševin mukaan nimetty Chebyshevin summien epätasa-arvo sanoo, että jos

a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n

b_1 \geqslant b_2 \geqslant \cdots \geqslant b_n,

sitten

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\ summa_{k=1}^n b_k\oikea).

Samoin jos

a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n

b_1 \leqslant b_2 \leqslant \cdots \leqslant b_n,

sitten

{1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leqslant \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\ summa_{k=1}^n b_k\oikea).

Todiste

Chebyshev'n epäyhtälö summille on helposti pääteltävissä permutaatioepäyhtälöstä :

Teeskennetäänpä sitä

a_1 \geqslant a_2 \geqslant \cdots \geqslant a_n

b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \cdots \geqslant b_{n}.

Permutaatioepäyhtälön vuoksi lauseke

{\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n))

on tarkasteltujen sekvenssien skalaaritulon suurin mahdollinen arvo. Yhteenvetona eriarvoisuuksista

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_ {n}

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+\cdots +a_{n} b_{1}

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+\cdots +a_{n} b_{2}

\vdots

a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{n}+a_{2}b_{1}+\cdots +a_{n} b_{n-1}

saamme

n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geqslant (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n);

tai jakamalla : $n^{2}$

\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geqslant \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n }.

Summille on olemassa myös jatkuva analogi Chebyshevin epätasa-arvosta:

Jos f(x) ja g(x) ovat reaalifunktioita, jotka voidaan integroida arvoon [0,1] ja jotka kasvavat tai pienenevät samanaikaisesti,

\int \limits _{0}^{1}f(x)g(x)\,dx\geqslant \int \limits _{0}^{1}f(x)\,dx\int \ rajat _{0}^{1}g(x)\,dx.