Rouge kolmion epäyhtälö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20. toukokuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Rougen kolmion epäyhtälö yhdistää kaikki kolmen joukon erot pareittain mielivaltaiseen ryhmään .

Sanamuoto

Olkoon ryhmä ja . _ ${\näyttötyyli (G,+)}$ $U,V,W\subset G$

Siis missä . $|U|\cdot |VW|\leq |VU|\cdot |UW|$ $AB=\left\lhakasulke {ab:a\in A,b\in B}\oikea\rhaulu$

Kolmio-epäyhtälö lisäyksellä

On olemassa vielä yksi epäyhtälö [1] , joka on samanlainen kuin Rougen kolmio-epäyhtälö, joka on kuitenkin vaikeampi todistaa kuin klassinen - Plünnecke-Rougen epäyhtälöllä , joka itsessään on todistettu käyttämällä klassista Rougen epäyhtälöä.

|U|\cdot |V+W|\leq |V+U|\cdot |U+W|

Todiste

Harkitse funktiota, joka on määritelty muodossa . Sitten jokaiselle kuvalle on vähintään eri käänteiskuvat muodosta . Tämä tarkoittaa, että esikuvien kokonaismäärä ei ole pienempi kuin . tarkoittaa, $\varphi :(VU)\times (UW)\to (VW)$ $\varphi (x,y)=x+y$ $vw\in VW$ $|U|$ $(vu,uw),u\in U$ $|VW||U|$ $|U||VW|\leq |VU||UW|$

Analogia kolmion epätasa-arvoon

Tarkastellaan funktiota [2] [3] , joka määrittelee "joukkojen välisen etäisyyden" Minkowski-eron avulla:

${\displaystyle \rho (A,B)=\log {\frac {|AB|}{\sqrt {|A||B|))))$

Tämä funktio ei ole metriikka , koska yhtälö ei päde sille , mutta se on ilmeisen symmetrinen, ja Rougen epäyhtälö merkitsee suoraan kolmio-epäyhtälöä sille: $\rho (A,A)=0$