Lineaarinen jatkuva operaattori

Lineaarinen jatkuva operaattori , joka toimii lineaarisesta topologisesta avaruudesta X lineaariseen topologiseen avaruuteen Y , on lineaarinen kuvaus X :stä Y :ään , jolla on jatkuvuusominaisuus . $A:X\rightarrow Y$

Termiä "lineaarinen jatkuva operaattori " käytetään yleensä, kun Y on moniulotteinen . Jos Y on yksiulotteinen, ts. osuu yhteen kentän itsensä kanssa ( tai ), silloin on tapana käyttää termiä lineaarinen jatkuva funktionaalinen [1] . Kaikkien lineaaristen jatkuvien operaattorien joukko X :stä Y : hen on merkitty . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $L(X,Y)$

Normi - avaruuksien teoriassa jatkuvat lineaarioperaattorit tunnetaan yleisemmin rajoittuneina lineaarioperaattoreina seuraavasta syystä. Jatkuvien lineaaristen operaattoreiden teorialla on tärkeä rooli funktionaalisessa analyysissä , matemaattisessa fysiikassa ja laskennallisessa matematiikassa .

Ominaisuudet

Jos X on äärellisulotteinen , niin mikä tahansa lineaarinen operaattori on jatkuva.
Lineaarisen operaattorin jatkuvuus nollassa vastaa sen jatkuvuutta missä tahansa muussa pisteessä (ja siten koko X :ssä ).
Normoiduille avaruuksille jatkuvuuden ja rajallisuuden ( eli operaattorin normin äärellisyyden ) ehdot ovat ekvivalentit. [2] . Yleisessä tapauksessa lineaarisen operaattorin jatkuvuus merkitsee rajallisuutta, mutta päinvastoin ei aina pidä paikkaansa.
Jos X ja Y ovat Banach-avaruuksia ja operaattorin kuva osuu yhteen avaruuden Y kanssa , on olemassa käänteisoperaattori (ns. käänteisoperaattorilause ). $A\in L(X,Y)$ $A^{-1}\in L(Y,X)$
Kaikkien lineaaristen jatkuvien operaattorien joukko X :stä Y :ään on itsessään lineaarinen topologinen avaruus. Jos X ja Y normalisoidaan, se normalisoidaan myös operaattorinormilla . Jos Y on Banach, niin se on, riippumatta X :n täydellisyydestä . $L(X,Y)$ $L(X,Y)$

Lineaarisen jatkuvan operaattorin ominaisuudet riippuvat voimakkaasti avaruuksien X ja Y ominaisuuksista . Esimerkiksi jos X on äärellisulotteinen avaruus , niin operaattori on täysin jatkuva operaattori, sen alue on äärellisulotteinen lineaarinen aliavaruus ja jokainen tällainen operaattori voidaan esittää matriisina [3] . $A\in L(X,Y)$ $R(A)$

Jatkuvuus ja konvergenttisekvenssit

Lineaarisesta topologisesta avaruudesta X lineaariseen topologiseen avaruuteen Y vaikuttava lineaarinen operaattori on jatkuva, jos ja vain jos minkä tahansa X :n pistejonon osalta se seuraa . $A:X\rightarrow Y$ $\{x_n\}$ ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x_{0))$ ${\displaystyle Ax_{n}\rightarrow Ax_{0))$

Olkoon sarja konvergoiva lineaarinen jatkuva operaattori. Sitten tasa-arvo $\sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}=s$ $A:X\rightarrow Y$

\sum \limits _{n=1}^{\infty }Ax_{n}=As

Tämä tarkoittaa, että lineaarioperaattoria voidaan soveltaa termi kerrallaan konvergentteihin sarjoihin lineaarisissa topologisissa avaruudessa.

Jos X , Y ovat Banach-avaruuksia , niin jatkuva operaattori muuttaa jokaisen heikosti konvergentin sekvenssin heikosti konvergentiksi:

jos heikko, niin heikko.

x_{n}\to x

Ax_{n}\to Ax

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Lineaarisen operaattorin sanotaan olevan alhaalta rajoittunut, jos . $\exists k>0,\forall x\in X,\|Ax\|\geq k\|x\|$

Katso myös

Yhteisoperaattori

Kirjallisuus

Trenogin V. A. Funktionaalinen analyysi. - M .: Nauka , 1980 . — 495 s.
Halmos P. Äärillisulotteiset vektoriavaruudet = Äärillisulotteiset vektoriavaruudet. - M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 s.
Shilov G.E. Matemaattinen analyysi (yhden muuttujan funktiot), osa 3. - M .: Nauka , 1970 . — 352 s.

Muistiinpanot

↑ Lineaarisilla jatkuvilla funktionaalisilla funktioilla on erityisiä ominaisuuksia, joita ei tapahdu yleisessä tapauksessa, ja ne synnyttävät erityisiä matemaattisia rakenteita, joten lineaaristen jatkuvien funktionaalisten funktioiden teoriaa tarkastellaan erillään yleisestä teoriasta.
↑ Naimark M. A. Normed renkaat. - M .: Nauka, 1968. - 664 s.
↑ Myös äärellisulotteisessa avaruudessa , jossa on kanta , lineaarinen jatkuva operaattori voidaan esittää muodossa , jossa ovat funktiot kaksoisavaruudesta . $X$ ${\displaystyle \{x_{k}\}_{k=1}^{n))$ $A$ $Ax=f_{1}(x)x_{1}+f_{2}(x)x_{2}+\cdots +f_{n}(x)x_{n},\forall x\in X$ $f_{k}\in X^{*}$