Bertrandin paradoksi (todennäköisyys)

Bertrandin paradoksi on ongelma todennäköisyysteorian klassisessa määritelmässä . Joseph Bertrand kuvaili paradoksia teoksessaan Calcul des probabilités (1888) esimerkkinä siitä, kuinka todennäköisyyttä ei voida määritellä selkeästi ennen kuin satunnaismuuttujan valintamekanismi tai menetelmä on määritetty [1] .

Bertrandin sanamuoto

Bertrandin paradoksi on seuraava: Harkitse tasasivuista kolmiota , joka on piirretty ympyrään . Ympyrän sointu valitaan sattumanvaraisesti. Millä todennäköisyydellä valittu sointu on pidempi kuin kolmion sivu?

Bertrand ehdotti kolmea ratkaisua, jotka ilmeisesti olivat oikeita, mutta antoivat erilaisia ​​tuloksia.

  1. "Satunnaisten päiden" menetelmä: valitsemme satunnaisesti kaksi pistettä ympyrästä ja piirrämme sointua niiden läpi. Laskeaksesi halutun todennäköisyyden kuvittele, että kolmiota kierretään niin, että yksi sen kärjeistä osuu yhteen sointeen pään kanssa. Huomaa, että jos jänteen toinen pää on kolmion kahden muun kärjen välisellä kaarella, niin jänteen pituus on suurempi kuin kolmion sivu. Tarkastelun kaaren pituus on yhtä kuin kolmasosa kehästä, klassisen määritelmän mukaan vaadittu todennäköisyys on yhtä suuri kuin .
  2. "Satunnainen säde" -menetelmä: kiinnitä ympyrän säde , valitse satunnaisesti piste säteeltä. Muodostetaan jänne, joka on kohtisuorassa kiinteään säteeseen nähden, joka kulkee valitun pisteen läpi. Halutun todennäköisyyden löytämiseksi kuvittele, että kolmiota kierretään siten, että sen toinen sivu on kohtisuorassa kiinteään säteeseen nähden. Jäyte on pidempi kuin kolmion sivu, jos sen keskipiste on lähempänä keskipistettä kuin kiinteäsäteisen kolmion leikkauspiste. Kolmion sivu puolittaa säteen, joten todennäköisyys valita sointu on pidempi kuin kolmion sivu .
  3. "Satunnaisen keskipisteen" menetelmä: valitsemme satunnaisesti mielivaltaisen pisteen ympyrän sisältä ja rakennamme sointeen, jonka keskipiste on valittuna. Jännitys on pidempi kuin tasasivuisen kolmion sivu, jos valittu piste on kolmioon piirretyn ympyrän sisällä. Piirretyn ympyrän pinta-ala on 1/4 suuremman pinta-alasta, joten alkutodennäköisyys on .

Menetelmän valinta voidaan kuvata myös seuraavasti. Sointu määritellään yksilöllisesti sen keskipisteen perusteella. Kaikki kolme edellä kuvattua menetelmää antavat erilaisen, jokaisella on oma keskipisteen jakautuminen. Menetelmät 1 ja 2 edustavat kahta erilaista epäyhtenäistä jakaumaa, kun taas kolmas menetelmä antaa tasaisen jakauman. Toisaalta, jos katsot alla olevia sointujen kuvia, huomaa, että menetelmän 2 sointuet antavat tasaisesti täytetyn ympyrän ja 1. ja 3. menetelmä eivät anna sellaista kuvaa.


Muita jakaumia voidaan suunnitella; monet niistä antavat erilaiset sointujen suhteet, jotka ovat pidempiä kuin piirretyn kolmion sivu.

Klassinen ratkaisu

Klassinen ratkaisu ongelmaan riippuu siis menetelmästä, jolla sointu valitaan satunnaisesti. Jos ja vain jos satunnaisvalintamenetelmä annetaan, ongelmalla on hyvin määritelty ratkaisu. Valintatapa ei ole ainutlaatuinen, joten yhtä ainoaa ratkaisua ei voi olla. Bertrandin esittämät kolme ratkaisua vastaavat eri valintamenetelmiä, ja lisätietojen puuttuessa ei ole syytä suosia kumpaakaan.

Tämä ja muut klassisen todennäköisyyden määritelmän paradoksit oikeuttavat tiukemmat formulaatiot, jotka sisältävät frekvenssitodennäköisyyksiä ja subjektiivisia Bayesin todennäköisyyksiä .

Janesin ratkaisu epävarmuusperiaatteella

Edwin Jaynes ehdotti vuonna 1973 tekemässään teoksessa "The Well-posed Problem" [2] ratkaisua Bertrandin paradoksiin, joka perustuu epävarmuusperiaatteeseen : meidän ei pitäisi käyttää informaatiota, jota ei anneta ehdossa. Jaynes huomautti, että Bertrandin ongelma ei täsmennä ympyrän sijaintia tai kokoa, ja väitti, että tällaisessa tapauksessa tarkan ja objektiivisen ratkaisun tulee olla "välinpitämätön" koon ja sijainnin suhteen. Toisin sanoen ratkaisun on oltava invariantti dimensioiden ja muunnosten suhteen.

Esimerkkinä: oletetaan, että jänteet ovat satunnaisesti ympyrässä, jonka halkaisija on 2 (esimerkiksi sen jälkeen, kun oljet on heitetty ympyrään kaukaa). Sitten toinen halkaisijaltaan pienempi ympyrä (esimerkiksi 1.1) asetetaan suuren päälle. Nyt sointujen jakautumisen pienemmässä ympyrässä tulisi olla sama kuin suuremmassa. Jos siirrät pienemmän ympyrän suuremman päälle, todennäköisyys ei saisi muuttua. Tämä tulee ilmaista selkeästi, jos menetelmässä 3 tehdään muutoksia: sointujen jakautuminen pienessä ympyrässä voi näyttää laadullisesti erilaiselta kuin niiden jakautuminen suuressa ympyrässä.

Tilanne on sama menetelmän 1 kanssa, vaikka se on monimutkaisempi graafisessa esityksessä. Vain menetelmä 2 on sekä dimensioiden että transformaatioiden suhteen invariantti, menetelmällä 3 on vain dimensioinvarianssi, menetelmällä 1 ei ole yhtään.

Jaynes ei kuitenkaan käyttänyt vain muuttumattomuutta hyväksyäkseen tai hylätäkseen nämä menetelmät: tämä merkitsisi samaa kuin jättäisi mahdollisuuden vielä kuvaamattoman , terveen järjen kriteerit täyttävän menetelmän olemassaoloon . Jaynes käytti integraaliyhtälöitä , jotka kuvaavat invarianssia, määrittääkseen tarkasti jakauman todennäköisyyden. Tälle ongelmalle integraaliyhtälöillä on todellakin ainutlaatuinen ratkaisu, ns. menetelmä 2 edellä, satunnaissädemenetelmä.

Fyysiset kokeet

Menetelmä 2 on ainoa ratkaisu, jolla on muunnosinvarianssi, jota esiintyy tietyissä fysikaalisissa järjestelmissä (kuten tilastomekaniikassa ja kaasufysiikassa ), samoin kuin Janesin ehdottamassa kokeessa, jossa oljet heitetään satunnaisesti kaukaa ympyrään. Voidaan kuitenkin tehdä muita kokeita, jotka tuottavat tuloksia muilla menetelmillä. Esimerkiksi menetelmän 1, satunnaisen päätteen menetelmässä ratkaisuun pääsemiseksi voitaisiin kiinnittää pyörivä osoitin ympyrän keskelle ja antaa kahden itsenäisen kierron tulosten merkitä sointujen alku- ja loppupisteet. Menetelmän 3 ratkaisuun pääsemiseksi täytyy ympyrä peittää melassilla ja merkitä jänteen keskipisteeksi ensimmäinen kohta, johon kärpänen vahingossa laskeutuu. Useat tarkkailijat suunnittelivat kokeita saadakseen erilaisia ​​ratkaisuja ja todentamaan tulokset empiirisesti. [3] [4] [5]

Muistiinpanot

  1. ↑ Sekey G. Paradokseja todennäköisyysteoriassa ja matemaattisissa tilastoissa. - M .: Mir, 1990. - S. 50-54. – 240 s.
  2. ↑ Jaynes, E.T. (1973), The Well-Posed Problem , Foundations of Physics osa 3: 477–493, doi : 10.1007/BF00709116 , < http://bayes.wustl.edu/etj/articles/well.pdf > Arkistoitu 12. elokuuta 2011 Wayback Machinessa   
  3. ↑ Gardner, Martin (1987), The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions , The University of Chicago Press, s. 223–226, ISBN 978-0226282534  
  4. ↑ Tissler, P.E. (maaliskuu 1984), Bertrand's Paradox , The Mathematical Gazette (Mathematical Association). — T. 68 (443): 15–19 , DOI 10.2307/3615385 (englanniksi)  
  5. ↑ Kac, Mark (toukokuu–kesäkuu 1984), Marginalia: lisää satunnaisuudesta, American Scientist, osa 72 (3): 282–283