Parametrinen oskillaattori

Parametrinen oskillaattori on oskillaattori, jonka parametrit voivat muuttua tietyllä alueella.

Parametrinen oskillaattori kuuluu ei-suljettujen värähtelyjärjestelmien luokkaan, jossa ulkoinen vaikutus pelkistyy sen parametrien muutokseen ajan myötä. Muutokset parametreissa, kuten luonnollinen värähtelytaajuus ω tai vaimennustekijä β, johtavat muutokseen koko järjestelmän dynamiikassa.

Tunnettu esimerkki parametrisesta oskillaattorista on lapsi keinussa, jossa ajoittain muuttuva massakeskipisteen korkeus tarkoittaa jaksoittaista hitausmomentin muutosta, joka johtaa heilahduksen värähtelyamplitudin kasvuun [3, p. . 157]. Toinen esimerkki mekaanisesta parametrisesta oskillaattorista on fyysinen heiluri, jonka ripustuspiste suorittaa tietyn jaksollisen liikkeen pystysuunnassa, tai matemaattinen heiluri, jonka kierteen pituus voi ajoittain muuttua.

Käytännössä laajasti käytetty esimerkki parametrisesta oskillaattorista on monilla alueilla käytetty parametrinen oskillaattori. Diodin kapasitanssin säännöllinen muuttaminen erityisellä "pumpuksi" kutsutulla piirillä johtaa varaktorin parametrisen oskillaattorin klassisiin värähtelyihin. Parametriset oskillaattorit on kehitetty vähäkohinaisiksi vahvistimille, jotka ovat erityisen tehokkaita radio- ja mikroaaltotaajuusalueella. Koska ne eivät ole aktiiviset (ohmiset), mutta reaktiiviset vastukset muuttuvat ajoittain niissä, lämpökohina tällaisissa generaattoreissa on minimaalinen. Mikroaaltoelektroniikassa parametriseen oskillaattoriin perustuva aaltoputki / YAG toimii samalla tavalla. Parametristen värähtelyjen herättämiseksi suunnittelijat muuttavat säännöllisin väliajoin järjestelmän parametreja. Toinen laiteluokka, joka usein käyttää parametristen värähtelyjen menetelmää, ovat taajuusmuuttajat, erityisesti muuntimet audiosta radiotaajuuksiin. Esimerkiksi optinen parametrinen oskillaattori muuntaa sisääntulevan laseraallon kahdeksi matalataajuiseksi lähtöaaltoksi (ωs, ωi). Parametrisen resonanssin käsite liittyy läheisesti parametriseen oskillaattoriin.

Parametrinen resonanssi on värähtelyjen amplitudin kasvu parametrisen virityksen seurauksena. Parametrinen heräte eroaa klassisesta resonanssista, koska se syntyy järjestelmän parametrien tilapäisen muutoksen seurauksena ja liittyy sen vakauteen ja vakauteen .

Matematiikka

Kitkalla liikkuvan yksiulotteisen oskillaattorin parametrit ovat sen massa , kimmokerroin ja vaimennuskerroin . Jos nämä kertoimet riippuvat ajasta ja , niin liikeyhtälöllä on muoto $m$ $k$ $\beeta$ $m=m(t),k=k(t),\beta =\beta (t)$

{\frac {d}{dt}}(m{\piste {x}})+\beta {\piste {x}}+kx=0,

$(yksi)$

Muutetaan aikamuuttuja → , jossa , jolloin yhtälö (1) tulee muotoon $t$ $\tau$ $d\tau=dt/m(t)$

{\frac {d^{2}x}{d\tau ^{2}}}+\beta {\frac {dx}{d\tau }}+kmx=0,

$(2)$

Tehdään toinen vaihto → : $x(\tau )$ $q(\tau )$

q(\tau )=\exp ^{B(\tau )}x(\tau ),B(\tau )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ tau }\beta (\xi )d\xi ,

$(3)$

Tämä päästää eroon vaimennustermistä:

{\frac {d^{2}q}{d\tau ^{2}}}+\delta ^{2}(\tau )q=0,\delta ^{2}(\tau )= km-{\frac {\piste {\beta }}{2}}-{\frac {\beta ^{2}}{4}},

$(neljä)$

Siksi itse asiassa, ilman yleisyyden menetystä, yhtälön (1) sijasta riittää, kun tarkastellaan muodon liikeyhtälöä

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}(t)x=0,

${\näyttötyyli (5)}$

joka saadaan yhtälöstä (1) . $m=const$

Mielenkiintoista on, että toisin kuin vakiotaajuuden tapauksessa , yhtälön (5) analyyttistä ratkaisua ei tunneta yleisessä muodossa. Jaksottaisen riippuvuuden erityistapauksessa yhtälö (5) on Hillin yhtälö , ja harmonisen riippuvuuden tapauksessa se on Mathieun yhtälön erikoistapaus . Yhtälöä (5) tutkitaan parhaiten siinä tapauksessa, että värähtelytaajuus muuttuu harmonisesti jonkin vakioarvon suhteen. ${\displaystyle \omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2))$ ${\näyttötyyli \omega (t)}$ ${\näyttötyyli \omega (t)}$

1. Tarkastellaan tapausta, jolloin , eli yhtälö (5) on muotoa $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon )t]$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega _{0}+\varepsilon ) t]x=0,

${\näyttötyyli (6)}$

Missä on luonnollisten harmonisten värähtelyjen taajuus, harmonisten taajuuksien vaihteluiden amplitudi , vakio on pieni taajuusvaihtelu. Ajan alkuperän oikealla muutoksella vakio h voidaan valita positiiviseksi, joten oletamme yleisyyden menettämättä, että . Yhtälön (6) ratkaisemisen sijaan esitetään vaatimattomampi kysymys: millä parametrin arvoilla tapahtuu värähtelyjen amplitudin jyrkkä nousu, eli ratkaisu kasvaa loputtomasti? Voidaan osoittaa [1], että tämä tapahtuu, kun $\omega_{0}$ $h\ll 1$ ${\displaystyle \varepsilon \ll \omega _{0))$ $h>0$ $\varepsilon$ $x(t)$

-{\frac {5}{24}}<{\frac {\varepsilon }{h^{2}\omega _{0}}}<{\frac {1}{24}},

${\näyttötyyli (7)}$

2. Harkitse tapausta, jolloin , eli yhtälö (5) on muotoa $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]x=0,

${\näyttötyyli (8)}$

Toisin sanoen vapaiden värähtelyjen harmoninen muutos tapahtuu taajuudella . Tässä tapauksessa parametrinen resonanssi, termeihin asti , tapahtuu, kun $y=2\omega _{0}+\varepsilon$ $h^{2}$

-{\frac {1}{32}}h-{\frac {1}{2}}<{\frac {\varepsilon }{h\omega _{0}}}<-{\frac { 1}{32}}h+{\frac {1}{2}},

${\näyttötyyli (9)}$

Erityisesti osoitamme parametrisen resonanssin ehdot matemaattisen heilurin pienille värähtelyille, joiden ripustuspiste värähtelee pystyasennossa ja jonka värähtelyyhtälöillä on muoto

{\ddot {\phi }}+\omega _{0}^{2}[1+{\frac {4a}{l}}\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t ]\phi =0,

$(kymmenen)$

missä ja . Siinä tapauksessa, kun ja rajoitamme itsemme ensimmäisen kertaluvun laajennukseen vuonna , saamme sen $\omega _{0}^{2}={\frac {g}{l))$ $h={\frac {4a}{l))$ $a\ll l$ $h$

-{\frac {2a{\sqrt {g}}}{l^{\frac {3}{2}}}}<\varepsilon <{\frac {2a{\sqrt {g}}}{ l^{\frac {3}{2)))),

${\näyttötyyli (11)}$

Se, että parametrinen resonanssi esiintyy vapaan värähtelytaajuuden ja sen kaksinkertaisen arvon läheisyydessä, ei ole sattumaa. Voidaan osoittaa (katso esim. [2]), että yhtälön tapauksessa ${\displaystyle \omega =\omega _{0))$ ${\displaystyle \omega =2\omega _{0))$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega t)]x=0,

${\näyttötyyli (12)}$

Parametrinen resonanssi tapahtuu, kun

\omega ={\frac {2\omega _{0}}{n}},n=1,2,...,

${\näyttötyyli (13)}$

Pääresonanssi esiintyy kaksinkertaisella harmonisen heilurin luonnollisella taajuudella ja resonanssin leveys on yhtä suuri kuin . On myös tärkeää, että kitkan läsnä ollessa (katso yhtälö (2)) yhtälössä $\omega_{0}$ ${\displaystyle h\omega _{0))$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+3\gamma {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}[1+ h\cos(\omega t)]x=0,

${\näyttötyyli (14)}$

Parametrisen resonanssin ilmiö ei tapahdu millekään , vaan vain niille . Siten kitkan läsnä ollessa $h\ll 1$ ${\displaystyle h>{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2))))$

{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma }}<h\ll 1,

${\näyttötyyli (15)}$

mikä mahdollistaa parametrisen resonanssin ilmiön vahvistamisen tai heikentämisen valitsemalla oikealla parametrilla , ja , käytännön tarpeesta riippuen. $\gamma$ $\omega _{0}$ $h$

Linkit

Esimerkki parametrisesta epävakaudesta [1]

Brownin parametrinen oskillaattori [2]

Kirjallisuus

[1] L. D. Landau ja E. M. Lifshits. Teoreettisen fysiikan kurssi I. Mekaniikka. Moskova. Tiede. 1973 s. 103-109

[2] A. M. Fedorchenko. Teoreettinen mekaniikka. 1975. Kiova. Valmistua koulusta. 516 s.

[3] K. Magnus. Oskillaatiot: Johdatus värähtelyjärjestelmien tutkimukseen. 1982. Moskova. Maailman. 304 s.