Grüneisen-parametri

Grüneisen-parametri on dimensioton parametri, joka kuvaa kidehilan tilavuuden muutoksen vaikutusta sen värähtelyominaisuuksiin ja sen seurauksena lämpötilan muutoksen vaikutusta hilan kokoon tai dynamiikkaan . Parametri, jota yleensä merkitään γ , on nimetty Eduard Grüneisenin mukaan . Tämä termi ymmärretään yhtenä termodynaamisena ominaisuutena, joka on Grüneisen-mallin alkuperäiseen formulaatioon sisältyvien monien yksittäisten parametrien γ i painotettu keskiarvo fononien epälineaarisuuden suhteen [1] .

Termodynaamiset määritelmät

Termodynamiikan monien ominaisuuksien ja derivaattojen (esim. Maxwellin relaatiot ) välisen ekvivalenssin vuoksi Grüneisen-parametrilla on useita yhtä totta formulaatioita, mikä johtaa lukuisiin erilaisiin, mutta samanarvoisiin tulkintoihin sen merkityksestä.

Jotkut Grüneisen-parametrin formulaatiot sisältävät:

$\gamma =V\left({\frac {dP}{dE}}\oikea)_{V}={\frac {\alpha K_{T}}{C_{V}\rho }}={ \frac {\alpha K_{S}}{C_{P}\rho }}={\frac {\alpha v_{s}^{2}}{C_{P}}}=-\left({\frac {\osittainen \ln T}{\osittainen \ln V}}\oikea)_{S}$ ,

missä V on tilavuus ja ominaislämpökapasiteetit vakiopaineella ja tilavuudella, E on energia, S on entropia, α on lämpölaajenemiskerroin ja ovat adiabaattiset ja isotermiset puristuvuudet , on äänen nopeus väliaineessa, ja ρ on tiheys. $C_P$ $CV$ $K_{S}$ $K_{T}$ $v_s$

Grüneisen-parametrin lämpölaajenemiskertoimen ilmaisua ominaislämpökapasiteetin ja kokoonpuristuvuuden suhteen kutsutaan myös Grüneisenin laiksi [2] .

Grüneisen-parametri täydellisille kiteille parivuorovaikutuksella

Grüneisen-parametrin lauseke ideaalikiteelle, jossa on parivuorovaikutus d - ulotteisessa avaruudessa, kirjoitetaan seuraavasti [3] :

\Gamma _{0}=-{\frac {1}{2d)){\frac {\Pi '''(a)a^{2}+(d-1)\left[\Pi ' '(a)a-\Pi '(a)\oikea]}{\Pi ''(a)a+(d-1)\Pi '(a)))

missä on atomien välinen potentiaali ja tasapainohilavakio. Grüneisen-parametrin ja Lennard-Jones- , Morse- ja Mie-potentiaalien välinen suhde on esitetty taulukossa. $\Pi$ $a$

Ristikko	Ulottuvuus	Lennard-Jonesin potentiaali	Mi potentiaali	Morsen potentiaalia
Ketju	$d=1$	$10{\frac {1}{2}}$	${\frac {m+n+3}{2))$	${\frac {3\alpha a}{2}}$
kolmion muotoinen hila	$d=2$	$5$	${\frac {m+n+2}{4))$	${\frac {3\alpha a-1}{4}}$
FCC, BCC	$d=3$	${\frac {19}{6}}$	${\frac {n+m+1}{6}}$	${\frac {3\alpha a-2}{6}}$
"Hyperhilot"	$d=\infty$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}$
Yleinen kaava	$d$	${\frac {11}{d}}-{\frac {1}{2}}$	${\frac {m+n+4}{2d}}-{\frac {1}{2}}$	${\frac {3\alpha a+1}{2d}}-{\frac {1}{2}}$

Yksiulotteisen Mie-potentiaalin ketjun Grüneisen-parametrin lauseke on täsmälleen sama kuin MacDonaldin ja Royn tulos. Käyttämällä Grüneisen-parametrin ja atomienvälisen potentiaalin välistä suhdetta voidaan johtaa yksinkertainen välttämätön ja riittävä ehto negatiiviselle lämpölaajenemiselle täydellisissä kiteissä, joissa on parivuorovaikutus

\Pi '''(a)a>-(d-1)\Pi ''(a)

Yksityiskohtainen kuvaus Grüneisen-parametrista asettaa tiukan kokeen atomienvälisen potentiaalin tyypille [4] .

Mikroskooppinen määritelmä fononitaajuuksilla

Tämän parametrin fyysistä merkitystä voidaan laajentaa myös yhdistämällä termodynamiikka järkevään mikroskooppiseen malliin kiteessä olevien atomien värähtelemiseksi. Kun tasapainoasennostaan siirtyneeseen atomiin vaikuttava palautusvoima on lineaarinen atomin siirtymisessä, yksittäisten fononien taajuudet ω i eivät riipu kiteen tilavuudesta tai muiden fononien läsnäolosta eivätkä lämpölaajenemisesta ( ja siten γ ) on nolla. Kun palautusvoima riippuu epälineaarisesti siirtymästä, fononien taajuudet ω i muuttuvat äänenvoimakkuuden mukaan . Yksittäisen värähtelymoodin Grüneisen-parametri indeksin kanssa määritellään vastaavan taajuuden (negatiivisena) logaritmisena derivaatana : $V$ $i$ $\omega _{i}$

\gamma _{i}=-{\frac {V}{\omega _{i))}{\frac {\partial \omega _{i)){\partial V)).

Mikroskooppisten ja termodynaamisten mallien välinen suhde

Käyttämällä kvasiharmonista approksimaatiota atomivärähtelyille, makroskooppinen Grüneisen-parametri ( γ ) voidaan liittää kuvaamaan, kuinka kiteen sisällä olevien atomien ( fononien ) värähtelytaajuudet muuttuvat tilavuuden (eli γ i ) mukaan. Sen voi esimerkiksi osoittaa

\gamma ={\frac {\alpha K_{T}}{C_{V}\rho }}

jos se määritellään painotetuksi keskiarvoksi $\gamma$

\gamma ={\frac {\sum _{i}\gamma _{i}c_{V,i}}{\sum _{i}c_{V,i}}},

missä ovat yksittäisten fononimoodien osuudet lämpökapasiteetista siten, että kokonaislämpökapasiteetti on yhtä suuri ${\displaystyle c_{V,i))$

C_{V}={\frac {1}{\rho V}}\sum _{i}c_{V,i}.

Todiste

Todistaaksesi sen, sinun on esitettävä lämpökapasiteetti hiukkasta kohti ; Sitten ${\tilde {C}}_{V}=\sum _{i}c_{V,i}$

{\frac {\sum _{i}\gamma _{i}c_{V,i}}({\tilde {C}}_{V}}}={\frac {\alpha K_{T }}{C_{V}\rho }}={\frac {\alpha VK_{T}}{{\tilde {C}}_{V}}}

Todistaminen siis riittää

{\displaystyle \sum _{i}\gamma _{i}c_{V,i}=\alpha VK_{T))

Vasemman käden puoli:

\sum _{i}\gamma _{i}c_{V,i}=\sum _{i}\left[-{\frac {V}{\omega _{i))}{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial V}}\right]\left[k_{B}\left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}} \right)^{2}{\frac {\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\right)}{\left[\exp \left( {\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\oikea)-1\oikea]^{2}}}\oikea]

Oikea puoli:

\alpha VK_{T}=\left[{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}\right] V\left[-V\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}\right]=-V\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\oikea)_{P}\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}

Lisäksi ( Maxwellin suhteet ):

\left({\frac {\partial V}{\partial T))\right)_{P}={\frac {\partial }{\partial T))\left({\frac {\partial G}{\partial P}}\right)_{T}={\frac {\partial }{\partial P}}\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_ {P}=-\left({\frac {\partial S}{\partial P}}\right)_{T}

\alpha VK_{T}=V\left({\frac {\partial S}{\partial P))\right)_{T}\left({\frac {\partial P}{\partial V }}\oikea)_{T}=V\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}

Tämä derivaatta on helppo määrittää kvasiharmonisessa approksimaatiossa, koska vain ω i ovat V - riippuvaisia.

{\frac {\partial S}{\partial V))={\frac {\partial }{\partial V))\left\{-\sum _{i}k_{B}\ln \left [1-\exp \left(-{\frac {\hbar \omega _{i}(V)}{k_{B}T}}\right)\right]+\sum _{i}{\frac { 1}{T)){\frac {\hbar \omega _{i}(V)}{\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}(V)}{k_{B}T }}\oikea)-1}}\oikea\}

V{\frac {\partial S}{\partial V))=-\sum _{i}{\frac {V}{\omega _{i))}{\frac {\partial \omega _ {i}}{\partial V}}\;\;k_{B}\left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\oikea)^{2}{ \frac {\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\oikea)}{\left[\exp \left({\frac {\hbar \omega _{i}}{k_{B}T}}\oikea)-1\oikea]^{2}}}=\sum _{i}\gamma _{i}c_{V,i}

Tämä antaa

\gamma ={\dfrac {\sum _{i}\gamma _{i}c_{V,i}}{\sum _{i}c_{V,i}}}={\dfrac {\ alfa VK_{T}}{{\tilde {C}}_{V}}}.

Linkit

Eric Weinsteinin määritelmä fysiikan maailmasta

Muistiinpanot

↑ Grüneisen, E., Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente , < https://zenodo.org/record/1424250 > Arkistoitu 2. syyskuuta 2019 Wayback Machinessa
↑ A. E. Meyerovich. Gruneisenin laki // Physical Encyclopedia : [5 osana] / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M .: Neuvostoliiton Encyclopedia (osa 1-2); Great Russian Encyclopedia (vols. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Krivtsov, AM & Kuzkin, VA (2011), Tilayhtälöiden johtaminen yksinkertaisen rakenteen ideaalisille kiteille , Mechanics of Solids , osa 46 (3): 387–399 , DOI 10.3103/S0025654411030
↑ LJ; portteri. Gruneisen-parametrien merkitys atomien välisten potentiaalien kehittämisessä // J. Appl . Phys. : päiväkirja. - 1997. - Voi. 82 , no. 11 . - doi : 10.1063/1.366305 .