Darboux-pinta

Darboux-pinta on kaksiulotteinen pinta F 2 kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa E 3 , jolle määritellään Darboux'n tensori ja joka on identtisesti nolla .

Darboux-tensori on kolmannen asteen kolminkertainen kovariantti symmetrinen tensori, joka on määritelty pinnalle F 2 nollasta poikkeavalla Gaussin kaarevalla K E3: ssa .

Darboux-tensorin komponentit lasketaan kaavoilla: $\Theta$

\Theta _{ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j}K+b_ {jm}\nabla _{i}K}{4K}},\quad i,j,m=1,2,

missä ovat toisen asteen muodon kertoimet, K on Gaussin kaarevuus ja ja ovat niiden kovarianttiderivaatat. ${\displaystyle b_{ij))$ ${\displaystyle \nabla _{m}b_{ij))$ $\nabla _{m}K$

G. Darboux [1] oli ensimmäinen, joka tuli tähän tensoriin erityisissä koordinaateissa .

Darboux-tensorin katoaminen luonnehtii E 3 :n Darboux-pintoja — toisen kertaluvun kaksiulotteisia pintoja, jotka eivät laajene tasolle [2] .

Toinen tärkeä Darboux-pintojen ominaisuus liittyy pintojen äärettömän pienten taivutusten teoriaan. Siten E 3 :ssa positiivisen Gaussin kaarevuuden K>0 omaaville Darboux-pinnoille on tunnusomaista se ominaisuus, että niillä ja vain niillä oleva äärettömän pienten taipumien yhtälöjärjestelmä pelkistyy Cauchy-Riemannnin yhtälöjärjestelmäksi [3] .

Darboux-pintojen luonnollinen yleistys ovat n-ulotteisia osamonistoja, joilla on syklisesti toistuva toinen perusmuoto vakiokaarevuuden (n+p)-ulotteisissa tiloissa [4] .

Mikä tahansa syklisesti toistuva pinta F 2 , jolla on nollasta poikkeava Gaussin kaarevuus K kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa E 3 , on paikallisesti Darboux-pinta [5] .

Bonnet'n lause. Darboux-pinnalla kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa jokaisella kaarevuusviivalla sitä vastaava vastaava pääkaarevuus on verrannollinen toisen pääkaarevuuden kuutioon [6] .

Muistiinpanot

↑ Darbouch, G. "Bull. sci. math.", 1880, ser. 2, t. 4. R. 348-384.
↑ Kagan, V.F. Pintojen teorian perusteet tensoriesityksenä, osa 2, Moskova-Leningrad: OGIZ, 1948, s. 210-233.
↑ Vekua, I. N. Yleiset analyyttiset funktiot. M.: Nauka, 1988. S. 326-330.
↑ Bodrenko, I. I. Yleistetyt Darboux-pinnat vakiokaarevuustiloissa. Saarbrücken, Saksa: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013, s. 119-130. ISBN 978-3-659-38863-7 .
↑ Bodrenko, I. I. Yleistetyt Darboux-pinnat vakiokaarevuustiloissa. C. 119-130.
↑ Kagan, V.F. Pintojen teorian perusteet tensoriesittelyssä, osa 2, Moskova-Leningrad: OGIZ, 1948.