Wickin vuoro

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 26. kesäkuuta 2016 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Wick-rotaatio on menetelmä Minkowski-avaruuden ongelmien ratkaisemiseksi ratkaisemalla euklidisessa avaruudessa kytketty ongelma käyttämällä monimutkaista analyysiä , erityisesti analyyttisen jatkuvuuden käsitettä . Nimetty Giancarlo Vican mukaan .

Yleiskatsaus

Wick-kierto perustuu havaintoon, että Minkowski-avaruuden metriikka on:

ds^{2}=-(dt^{2})+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

siitä tulee neliulotteisen euklidisen avaruuden metri:

ds^{2}=d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}

jos koordinaatissa on vain imaginaariarvoja . Toisin sanoen Minkowski-avaruuden ongelma koordinaateilla , , , , korvaamalla , voidaan pelkistää ongelmaksi todellisessa euklidisessa avaruudessa koordinaatteilla , , , . $t$ $x$ $y$ $z$ $t$ $t=i\tau$ $x$ $y$ $z$ $\tau$

Tilasto- ja kvanttimekaniikka

Wickin rotaatio yhdistää tilastollisen mekaniikan kvanttimekaniikkaan korvaamalla lämpötilan käänteisluvun kuvitteellisella ajalla . Tarkastellaan suurta määrää harmonisia oskillaattoreita lämpötilassa . Suhteellinen todennäköisyys löytää tietty oskillaattori tilassa, jossa on energiaa , on , missä on Boltzmannin vakio. Havaitun keskiarvo : ${\näyttötyyli 1/(k_{B}T)}$ $it/\hbar$ $T$ $E$ $\exp(-E/k_{B}T)$ $k_B$ $K$

\langle Q\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{j}Q(j)e^{-E_{j}/(k_{B}T)}.

Tarkastellaan nyt yhtä kvanttiharmonista oskillaattoria perustilojen superpositiossa ajan myötä Hamiltonin kanssa . Perustilan vaiheiden suhteellinen muutos energian kanssa on missä on pelkistetty Planck-vakio. Todennäköisyysamplitudi, että sama tilojen superpositio johtaa mielivaltaiseen superpositioon , on normalisoivaa tekijää huomioimatta $t$ $H$ $E$ $\exp(-Eit/\hbar ),$ $\hbar$ $|\psi \rangle =\sum _{j}|j\rangle$ $|Q\rangle =\sum _{j}Q_{j}|j\rangle$

\;\langle Q|e^{{-iHt/\hbar }}|\psi \rangle

=\sum _{j}Q_{j}e^{{-E_{j}it/\hbar }}\langle j|j\rangle

=\sum _{j}Q_{j}e^{{-E_{j}it/\hbar }}.

Statiikka ja dynamiikka

Wickin rotaatio yhdistää mittojen staattiset ongelmat dynaamisiin mittojen ongelmiin, "korvaa" yhden tilaulottuvuuden ajalla. Tapauksessa, jossa esimerkki olisi riippuva lanka, jonka päät ovat kiinteät gravitaatiokentässä . Kaarevan nauhan muoto . Merkkijono on tasapainossa, kun energia on äärimmäisyydessään; tämä ääriarvo on yleensä minimi, joten tätä kutsutaan "vähimmän energian periaatteeksi". Merkkijonon energian laskemiseksi integroimme energiatiheyden: $n$ $n-1$ $n = 2$ $y(x)$

E=\int _{x}\left[k\left({\frac {dy(x)}{dx}}\right)^{2}+V(x)\right]dx,

missä on merkkijonon kimmokerroin ja painovoiman potentiaalienergia . $k$ $V(x)$

Vastaava dynaaminen tehtävä on heittää kiveä ylöspäin; kiven liikeradalla " vähimmän toiminnan periaatteen " mukaisesti saavutetaan toiminnan paikallinen minimi (toiminta on Lagrangen funktion integraali):

S=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt))\right)^{2}-V(t)\right]dt

Saimme dynaamisen ongelman ratkaisun (kertoimeen ) staattisen ongelman ratkaisusta käyttämällä Wick-kiertoa, korvaamalla , : lla ja kimmokertoimen kiven massalla : $-i$ $x$ $t$ $dx$ $idt$ $k$ $m$

-iS=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{idt}}\right)^{2}+V(t)\right](idt)

=-i\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt))\right)^{2}-V(t)\oikea]dt

Linkit

Wick rotation Arkistoitu 1. lokakuuta 2020 Wayback Machinessa – blogiesittely
A Spring in Imaginary Time Arkistoitu 29. elokuuta 2009 Wayback Machinessa — Lagrangian mekaniikan laskentataulukko, joka kuvaa kuinka pituuden korvaaminen kuvitteellisella ajalla muuttaa riippuvan jousen paraabelin heitetyn hiukkasen käänteiseksi paraabeliksi
Temperature Greenin funktiot - tässä Wick-kiertoa käytetään kvanttitilastoissa äärellisissä lämpötiloissa.