Annettu rotaatio - lineaarisessa algebrassa , lineaarinen operaattori vektorin kiertämiseksi tietyllä kulmalla .
Givens-matriisilla on seuraava muoto:
Tämä matriisi eroaa identiteettimatriisista vain alimatriisin suhteen
sijaitsevat riveillä ja sarakkeilla, joissa on numerot ja . On ortogonaalinen.
Jos vektori , annetaan , niin valitsee
cos ϕ = a k a k 2 + a l 2 {\displaystyle \cos {\phi }={\frac {a_{k}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))} synti ϕ = − a l a k 2 + a l 2 {\displaystyle \sin {\phi }={\frac {-a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2))))}voit asettaa vektorin :nnen komponentin nollaksi :
[ cos ϕ − synti ϕ synti ϕ cos ϕ ] [ a k a l ] = [ cos ϕ ⋅ a k − synti ϕ ⋅ a l synti ϕ ⋅ a k + cos ϕ ⋅ a l ] = [ a k 2 + a l 2 a k 2 + a l 2 − a l ⋅ a k + a k ⋅ a l a k 2 + a l 2 ] = [ a k 2 + a l 2 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos {\phi }&-\sin {\phi }\\\sin {\phi }&\cos {\phi }\end{bmatrix)){\begin{bmatrix} a_{k}\\a_{l}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {\phi }\cdot a_{k}-\sin {\phi }\cdot a_{l}\\ \sin {\phi }\cdot a_{k}+\cos {\phi }\cdot a_{l}\end{bmatrix))={\begin{bmatrix}{\frac {a_{k}^{2} +a_{l}^{2}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\\{\frac {-a_{l}\cdot a_{k }+a_{k}\cdot a_{l}}{\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix} {\sqrt {a_{k}^{2}+a_{l}^{2}}}\\0\end{bmatrix}}}Givensin rotaatioiden avulla voidaan laskea matriisien QR-hajoaminen ja piirtää hermiittiset matriisit kolmikulmaiseen muotoon .
Haluamme pelkistää symmetrisen matriisin kolmikulmaiseen muotoon:
Missä . Sitten kerromme sen Givensin rotaatiomatriisilla: . on transponoitu matriisi. Tämä muuttaa vain elementit , ja
Tässä alkuluku tarkoittaa elementtiä, joka tulee näkyviin kierron jälkeen. Valitaan kertoimet ja niin, että diagonaalista poikkeava elementti asetetaan nollaan ja suhde ja kanssa ja
Sitten:
Tällaista kiertoa sovelletaan peräkkäin kaikkien ensimmäisen rivin elementtien nollaamiseksi kahta ensimmäistä lukuun ottamatta. Eli (1,2), (1,3), (1,4)...(1,n) Sitten rinnakkain toinen rivi (2,3),(2, 4)...(2 ,n )
C++ koodi:
for ( etumerkitön int i = 0 ; i < N -1 ; ++ i ) { for ( etumerkitön int j = i + 2 ; j < N ; ++ j ) { t = 2 * matr [ i ][ j ] / ( matr [ i ][ i ] - matr [ j ][ j ]); phi = 0,5 * atan ( t ); c = cos ( phi ); s = sin ( phi ); bii = c * c * matr [ i ][ i ] + 2 * c * s * matr [ i ][ j ] + s * s * matr [ j ][ j ]; bij = s * c * ( matr [ j ][ j ] - matr [ i ][ i ]) + matr [ i ][ j ] * ( c * c - s * s ); bjj = s * s * matr [ i ][ i ] + c * c * matr [ j ][ j ] - 2 * c * s * matr [ i ][ j ]; bji = bij ; matr [ i ][ i ] = bii ; matr [ i ][ j ] = bij ; matr [ j ][ i ] = bji ; matr [ j ][ j ] = bjj ; } }