Krylovin aliavaruus

Lineaarisessa algebrassa vektorin ja matriisin muodostama ulottuvuuden Krylov-aliavaruus on lineaarinen avaruus $m$ $v\in {\mathbb {C}}^{n}$ $A\in {\mathbb {C}}^{{n\times n}}$

${\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\operaattorin nimi {span}\{v,Av,A^{2}v,...,A^{{m-1}}v\ }.$

Krylov-aliavaruus on vektoriavaruuden aliavaruus kompleksilukukentän päällä : ${\mathcal {K}}_{m}\subset \mathbb {C} ^{n}.$

Tällaiset tilat on nimetty venäläisen soveltavan matemaatikon ja laivastoinsinöörin A. N. Krylovin mukaan, joka julkaisi artikkelin ongelmasta vuonna 1931.

Krylov-aliavaruuden ulottuvuus

Avaruuden äärellisulotteisuuden vuoksi on olemassa sellainen , että vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, ja näistä vektoreista on lineaarinen yhdistelmä kertoimilla $\mathbb{C}^{n}$ $p\;(0\leq p\leq n),$ $v,\;Av,\;A^{2}v,\;...,\;A^{p-1}v$ $A^{p}v$ $\gamma _{1},\;\gamma _{2},\;...,\;\gamma _{p}:$

$A^{p}v=-\gamma _{1}A^{p-1}v-\gamma _{2}A^{p-2}v-...-\gamma _{p }v$

Muodostamme polynomin ja saamme: $\varphi (\lambda )=\lambda ^{p}+\gamma _{1}\lambda ^{{p-1}}+\gamma _{2}\lambda ^{{p-2}}+.. .+\gamma _{p}$

$\varphi (A)v=0.$

Astepolynomi on vektorin v minimipolynomi suhteessa matriisiin A . $\varphi (A)$ $s$

Krylov-aliavaruuden ominaisuudet

1. invariantti minkä tahansa suhteen ja minkä tahansa suhteen

{\mathcal {K}}_{p}

A

{\mathcal {K}}_{m}={\mathcal {K}}_{p}

m\geq p.

dim({\mathcal {K}}_{m})=\min\{m,p\}.

Krylovsky-tyyppiset menetelmät

Krylov-aliavaruuksia käyttäviä algoritmeja kutsutaan perinteisesti Krylov-tyyppisiksi menetelmiksi. Ne ovat yksi menestyneimmistä tällä hetkellä saatavilla olevista numeerisen lineaarisen algebran menetelmistä.

Nykyaikaiset iteratiiviset menetelmät ominaisarvojen löytämiseksi ja menetelmät SLAE:n ratkaisemiseksi, jotka keskittyvät suurikokoisiin matriiseihin, välttävät matriisi-matriisioperaatioita ja kertovat matriisin useammin vektoreilla ja työskentelevät tuloksena olevien vektorien kanssa:

${\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\operaattorin nimi {span}\{v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{m}\},$

missä

$v_{1}=v,\;v_{2}=Av_{1},\;v_{3}=Av_{2},\;...,\;v_{m}=Av_{{m-1 }}$ .

Tunnetuimmat Krylovin aliavaruuden menetelmät ovat Arnoldi -menetelmä , Lanczos - menetelmä , konjugaattigradienttimenetelmä , GMRES , BiCG , BiCGSTAB , QMR , TFQMR ja MinRES .

Katso myös

Krylovin menetelmä matriisin ominaispolynomin löytämiseksi .
Projektiomenetelmät SLAE:n ratkaisemiseen
Lanczosin biortogonalisointi
Iteratiivinen mallikirjasto

Kirjallisuus

Krylov A.N. Materiaalijärjestelmien pienten värähtelyjen taajuudet teknisissä asioissa määrittävän yhtälön numeerisesta ratkaisusta. . - 1931. - S. 26 .
Saad Y. Iteratiiviset menetelmät harvoille lineaarisille järjestelmille . – 2. painos. - SIAM Society for Industrial & Applied Mathematics, 2003. - S. 477 . — ISBN 0898715342 .
Gantmakher F.R. Matriisiteoria . – 2. painos. - M .: Nauka, 1966. - S. 576. - ISBN 5-9221-0524-8 .
Balandin M. Yu., Shurina EP Menetelmät korkeadimensionaalisten SLAE-ratkaisujen ratkaisemiseen. - Novosibirsk: NSTU, 2000. - S. 70.