Gheesweet sekvenssi

Gijswitin sekvenssi on sekvenssi, joka alkaa

1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 1, … (sekvenssi A090822 OEIS : ssä ).

OEIS:n luoja Neil Sloan on nimennyt sarjan D. Gijswijtin mukaan. Tämä sekvenssi on mielenkiintoinen ensisijaisesti hitaan kasvuvauhtinsa vuoksi: numero 4 esiintyy ensin paikassa 220 ja numero 5 lähellä asemaa 10 10 23 [1] .

Kuvaus

Esitetään sekvenssin jäseniä aakkosten kirjaimina, joita edustavat luonnolliset numerot. Jakson ensimmäinen jäsen on 1. Jokainen seuraava jäsen on suurin luku siten, että kaikkien aiempien jäsenten ("kirjainten") ketjutuksella muodostettu merkkijono voidaan esittää muodossa (eli ), jossa ja ovat merkkijonoja, ja sillä on ei- nolla pituus. Sarjan moninumeroisia lukuja tulee pitää numeroina, ei niiden yksittäisinä numeroina. Toisin sanoen esimerkiksi numeroa 10 käytetään koko merkinnä "10", ei "1" ja "0". $k$ ${\näyttötyyli XY^{k))$ ${\displaystyle X\underbrace {YYY\dots Y} _{k))$ $X$ $Y$ $Y$

Esimerkki sarjan luomisesta:

Ensimmäisellä iteraatiolla ensimmäinen termi on 1
Esitämme merkkijonoa "1" muodossa "1" 1 , seuraava jäsen on 1
Esitämme merkkijonoa "11" muodossa "1" 2 , seuraava jäsen on 2
Esitämme merkkijonoa "112" muodossa "112" 1 , seuraava jäsen on 1
Esitämme merkkijonoa "11211" muodossa "112""1" 2 , seuraava jäsen on 2
Esitämme merkkijonoa "112112" muodossa "112" 2 , seuraava jäsen on 2
Esitämme merkkijonoa "1121122" muodossa "11211""2" 2 , seuraava jäsen on 2
Esitämme merkkijonoa "11211222" muodossa "112112""2" 3 , seuraava jäsen on 3
Esitämme merkkijonoa "112112223" muodossa "112112223" 1 , seuraava jäsen on 1

jne.

Ominaisuudet

Ghiiswit-sekvenssistä on tehty rajallista tutkimusta. Tästä syystä sitä on tutkittu vähän, ja monet siihen liittyvät kysymykset jäävät auki. .

Kasvuvauhti

Ottaen huomioon, että numero 5 esiintyy sekvenssissä vasta noin 10 10 23. sijalla, "raaka voima" -menetelmää käyttämällä ei todennäköisesti löydy lukuja, jotka ovat suurempia kuin 4. On kuitenkin todistettu, että jokainen luonnollinen luku esiintyy sekvenssissä [2 ] . Tarkkaa kasvunopeutta ei tiedetä, mutta oletetaan, että ensimmäistä kertaa luonnollinen luku esiintyy sekvenssissä kohdassa [3] . $n$ ${\displaystyle 2^{2^{3^{4^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{n-1)))))))))))$

Keskimääräinen

Vaikka on todistettu, että mikä tahansa luonnollinen luku esiintyy sekvenssissä, on ehdotettu, että sekvenssillä voi olla keskiarvo. Muodollisesti hypoteesi on :

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}G(i)<\infty$

missä on Gijswit-sekvenssin th jäsen. $G(n)$ $n$

Minkä tahansa luonnollisen luvun esiintymistiheyttä sarjassa ei myöskään tunneta.

Rekursiivinen rakenne

Jakso voidaan jakaa erillisiin sekvensseihin - "lohko" ja "liima" - joita voidaan käyttää sekvenssin luomiseen rekursiivisesti .

Ensin määritämme ja ensimmäisinä "lohkon" ja "liiman" sekvensseinä. Ne muodostavat sarjan ensimmäiset termit: $B_{1}=1$ $S_{1}=2$

$B_{1}B_{1}S_{1}=1,1,2$ .

Määritä seuraavaksi rekursiivisesti . Sitten merkkijono "liima" saa muodon . Nyt luotu sekvenssi on: ${\displaystyle B_{2}=B_{1}B_{1}S_{1))$ $S_{2}=2,3,3$

$B_{2}B_{2}S_{2}=1,1,2,1,1,2,2,2,3$ .

Huomaa, että emme määrittäneet "liima"-merkkijonoa rekursiivisesti, vaan annoimme sille tietyn arvon, jonka saamme Gijswit-sekvenssin määritelmästä. $S_{2}$

Siten voimme määritellä kaavan "lohkoille": . "Liima" -viivat saadaan suorittamalla sekvenssi loppuun määritelmän mukaan, kunnes saavutamme 1. ${\displaystyle B_{n+1}=B_{n}B_{n}S_{n))$ $S_{n}$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Sloane, NJA (toim.). Jakso A090822 . Online Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS-säätiö. Haettu 15. elokuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 16. elokuuta 2018. (määrätön)
↑ DC Gijswijt. Hitaasti kasvava sekvenssi, jonka määrittelee epätavallinen toistuminen . arXiv.org (2006). Haettu 15. elokuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 16. elokuuta 2018. (määrätön)
↑ Neil Sloane. Seven Staggering Sequences 3. Haettu 15. elokuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 28. kesäkuuta 2018. (määrätön)