Landenin muutos

Landenin muunnos kuuluu elliptisiin integraaleihin . On järkevää puhua Landenin muutoksesta suppeassa ja laajassa merkityksessä. Suppeassa merkityksessä, jota käsitellään jäljempänä, brittiläinen matemaatikko John Landen(1719-1790) ehdotti vuonna 1775 [1] erittäin onnistunutta muuttujan muutosta epätäydelliseen integraaliin, joka määrittää ensimmäisen tyyppisen epätäydellisen elliptisen integraalin arvon.

F(\varphi ,x_{1})=F(\varphi \,|\,x_{1}^{2})=F(\sin \varphi ;x_{1})=\int _{ 0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-x_{1}^{2}\sin ^{2}\theta }}},

eli antiderivatiivisessa funktiossa

\int {\frac {d\theta }{\sqrt {1-x_{1}^{2}\sin ^{2}\theta }}}.

Landenin ehdottama muuttujan muutos kuvataan seuraavalla kaavalla:

\operatorname {tg} \theta ={\frac {\sin {2}\varphi }{x_{1}+\cos {2}\varphi )).

Tällaisen muuttujan muutoksen seurauksena epämääräinen integraali muunnetaan seuraavaksi:

\left(1+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\int {\frac {d\varphi }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2 }\varphi}}}.

Parametrit x ja x 1 ovat riippuvaisia:

x={\frac {{2}{\sqrt {x_{1)))){x_{1}+1)),

x_{1}={\frac {{2}\left(1+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}{x^{2}}}-1.

Siten Landen-substituution tuloksena epämääräinen integraali muunnetaan samanmuotoiseksi, mutta eri parametrilla olevaksi määrittelemättömäksi integraaliksi ja kerrotaan tietyllä kertoimella uudesta parametrista riippuen. Muunnoksen peräkkäisellä soveltamisella parametri x pyrkii arvoon 1, parametri x 1 arvoon 0. Näillä parametrin ääriarvoilla epämääräisten integraalien arvot ovat ilmeisiä:

\int {\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\ sin \theta }{1-\sin \theta }},

\int {d}\theta =\theta .

Elliptiset integraalit esitetään usein useiden eri argumenttien funktiona. Nämä erilaiset argumentit ovat täysin samanlaisia (ne antavat samat integraalit), mutta sekaannusta voi syntyä niiden erilaisen alkuperän vuoksi. Yllä olevissa kaavoissa käytimme ns. elliptisen integraalin x ( x 1 ) moduuli. Tämä moduuli liittyy modulaariseen kulmaan ja elliptisen integraalin parametriin kaavojen avulla

\alpha

- modulaarinen kulma;

x=\sin \alpha

on elliptisen integraalin moduuli;

m=x^{2}=\sin ^{2}\alpha

on elliptisen integraalin parametri.

On helppo nähdä, että kaavat, jotka liittyvät x:n ja x 1:n arvoihin sekä kulmiin φ ja θ , siinä tapauksessa , että iteraatiot alkavat parametreista x 1 ja θ , voidaan esittää seuraavasti:

(1+\sin \alpha _{n})(1+\cos \alpha _{n+1})=2,

\sin \alpha _{n+1}=x,

\sin \alpha _{n}=x_{1},

\varphi _{n}=\theta ,

\varphi _{n+1}=\varphi ,

\operaattorinnimi {tg} (\varphi _{n+1}-\varphi _{n})=\cos \alpha _{n}\operaattorinimi {tg} \varphi _{n}.

Jos iteraatiot alkavat parametreilla x ja φ , kaavat näyttävät tältä:

(1+\sin \alpha _{n+1})(1+\cos \alpha _{n})=2,

\sin \alpha _{n+1}=x_{1},

\sin \alpha _{n}=x,

\varphi _{n}=\varphi ,

\varphi _{n+1}=\theta ,

\sin({2}\varphi _{n+1}-\varphi _{n})=\sin \alpha _{n}\sin \varphi _{n}.

On tarpeen tuoda esiin eräs Landenin ehdottaman muuttujan muutoksen piirre, eli riippumattoman muuttujan siirtyminen arvosta θ arvoon φ . Kun kulma φ muuttuu 0:sta π /2:een, kulma θ kärsii epäjatkuvuudesta. Tämä seikka on otettava huomioon Landenin kaavan numeerisessa toteutuksessa.

Laajassa mielessä Landen löysi uuden tavan laskea, ei vain elliptisiä funktioita. Hänen pääideaansa, joka on, että laskettu funktio voidaan esittää samantyyppisenä funktiona, mutta eri parametrein, jotka taipuvat tiettyihin rajoihin rekursion aikana, käytettiin myöhemmin laajasti laskennallisessa matematiikassa. Huomautettakoon, että Landenin osoittaman ja yllä olevan integrointimuuttujan muutoskaavan ohella on muitakin, esimerkiksi tämä:

\operaattorin nimi {tg} \theta ={(1-x_{1}^{2})}^{-1/4}{\frac {{1}+\sin \varphi }{\cos \varphi }}.

Tällaisen muuttujan muutoksen seurauksena epämääräinen integraali muunnetaan seuraavaksi:

{\frac {1+x}{2}}\int {\frac {d\varphi }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2}\varphi }}}.

Parametrit x ja x1 on linkitetty riippuvuuksilla:

x={\frac {{2}(1-{\sqrt {(1-x_{1}^{2})}}}{x_{1}^{2}}}-1,

x_{1}={\frac {{2}{\sqrt {x}}}{x+1}}.

Muistiinpanot

↑ Landen, J. XXVI. Tutkimus yleisestä lauseesta minkä tahansa kartiomaisen hyperabelin minkä tahansa kaaren pituuden löytämiseksi kahden elliptisen kaaren avulla ja siitä johdettuja muita uusia ja hyödyllisiä lauseita // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. - 1775. - Voi. 65 . - s. 283-289 . — ISSN 0261-0523 . - doi : 10.1098/rstl.1775.0028 .

Linkit

King LV elliptisten funktioiden ja integraalien suorasta numeerisesta laskennasta . - Cambridge University Press, 1924.
Cayley A. Alkeisartikkeli elliptisistä funktioista . - G. Bell and Sons, 1895.
Almkvist G. , Berndt B. Gauss, Landen, Ramanujan, aritmeettis-geometrinen keskiarvo, ellipsit, π ja naisten päiväkirja // The American Mathematical Monthly. - 1988. - Voi. 95 , ei. 7 . - s. 585-608 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.1080/00029890.1988.11972055 .
Milne-Thomson L. Ch. 17. Elliptiset integraalit // Handbook of Special Functions with Formulas, Graphs and Tables, toim. M. Abramowitz ja I. Steegan; per. englannista. toim. V. A. Ditkin ja L. N. Karamzina. - M .: Nauka, 1979. - S. 401-441. — 832 s. – 50 000 kappaletta.
Korn G., Korn T. // Matematiikan käsikirja tutkijoille ja insinööreille. Moskova: Nauka, 1977.
Sikorsky Yu. S. Elliptisten funktioiden teorian elementit: Sovelluksella mekaniikkaan. - Toim. 2nd, rev. - M . : Kom Book, 2006. - 368 s.