Ryhmäteoriassa Tietze - muunnoksia käytetään muuttamaan alkuperäinen ryhmämääritelmä toiseksi, usein yksinkertaisemmiksi saman ryhmän määritelmäksi . Muutokset on nimetty Heinrich Tietzen mukaan, joka ehdotti niitä vuoden 1908 paperissa.
Ryhmä on määritelty generaattoreiden ja suhteiden suhteen . Muodollisesti ryhmämääritelmä on pari, joka koostuu joukosta generaattoreita ja joukosta sanoja vapaasta ryhmästä generaattoreiden yli, joita pidetään suhteina. Tietze-muunnokset rakentuvat alkeisaskeleille, joista jokainen muuntaa tehtävän ilmeisellä tavalla isomorfisen ryhmän tehtäväksi . Vuonna 1908 Tietze osoitti, että mikä tahansa muu tehtävä voidaan saada ryhmän G alkuperäisestä tehtävästä käyttämällä toistuvasti neljää alla esitettyä muunnostyyppiä [1] .
Jos suhde voidaan johtaa olemassa olevista suhdeluvuista, ne voidaan lisätä tehtävään ryhmää muuttamatta. Olkoon G=〈 x | x 3 =1 〉 on kertaluvun 3 syklisen ryhmän lopullinen tehtävä. Kerrotaan x 3 =1:n molemmat puolet x 3 :lla , saadaan x 6 = x 3 = 1, joten x 6 = 1 on johdettavissa x 3 = 1. Sitten G=〈 x | x 3 =1, x 6 =1 〉on saman ryhmän toinen tehtävä.
Jos suhde voidaan johtaa muista suhdeluvuista, se voidaan poistaa työstä muuttamatta ryhmää. Tehtävässä G = 〈x | x 3 = 1, x 6 = 1 〉 suhde x 6 = 1 voidaan johtaa arvosta x 3 = 1, joten se voidaan poistaa. Huomaa kuitenkin, että jos relaatio x 3 = 1 poistetaan ryhmän määritelmästä, määritelmä G = 〈x | x 6 = 1 〉 määrittää luokkaa 6 olevan syklisen ryhmän eikä enää määritä samaa ryhmää. Sinun tulee olla varovainen ja poistaa suhde vain, jos se voidaan johtaa jäljellä olevista suhteista.
Kun annetaan ryhmätehtävä, voidaan lisätä uusi generaattori, joka ilmaistaan sanana alkuperäisissä generaattoreissa. Alkaen määrittelystä G = 〈x | x 3 = 1 〉 ja asettamalla y = x 2 , saadaan uusi tehtävä G = 〈x , y | x 3 = 1, y = x 2〉 määrittelevät saman ryhmän.
Jos relaatio on p = V , jossa p on generaattori ja V on sana, joka ei sisällä p :tä, generaattori voidaan poistaa. Tässä tapauksessa kaikki p :n esiintymät, toisin sanoen, tulee korvata V :llä . Annettu alkeis-abelin ryhmä , jonka kertaluku on 4, G=〈 x,y,z | x = yz, y 2 =1, z 2 =1, x=x −1〉 voidaan korvata G = 〈y , z | y 2 = 1, z 2 = 1, ( yz ) = ( yz ) −1〉 poistamalla x .
Olkoon G = 〈x , y | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1 〉 on kolmannen asteen symmetrisen ryhmän osoitus . Generaattori x vastaa permutaatiota (1,2,3) ja generaattori y vastaa permutaatiota (2,3). Tietze-muunnoksia käyttämällä voimme kääntää tämän tehtävän muotoon G = 〈y , z | ( zy ) 3 = 1, y 2 = 1, z 2 = 1 〉, missä z vastaa permutaatiota (1,2).
| G = 〈x , y | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1〉 | (alkutila) |
| G = 〈x , y , z | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1, z = xy〉 | Sääntö 3 - lisää generaattori z |
| G = 〈x , y , z | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1, x = zy〉 | Säännöt 1 ja 2 - lisää x = z y −1 = zy ja poista z = xy |
| G = 〈y , z | ( zy ) 3 = 1, y 2 = 1, z 2 = 1〉 | Sääntö 4 - poista generaattori x |