Pascalin merkki

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 29. heinäkuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Pascalin merkki on matemaattinen menetelmä, jonka avulla voit saada merkkejä jaollisuudesta millä tahansa luvulla. Eräänlainen "yleinen jaettavan merkki".

Yleisnäkymä

Olkoon luonnollinen luku kirjoitettuna desimaalimuodossa kuten , missä ovat yksiköt, ovat kymmeniä jne. $A$ $\overline {a_{n}a_{{n-1}}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}$ $a_{0}$ $a_{1}$

Antaa olla mielivaltainen luonnollinen luku, jolla haluamme jakaa ja näyttää jaollisuuden merkin sillä. $m$

Löydämme joukon jäämiä seuraavan kaavion mukaisesti:

r_{1}

- jäännös jakamisen jälkeen

kymmenen

m

r_{2}

- jäännös jakamisen jälkeen

10\cdot r_{1}

m

r_3

- jäännös jakamisen jälkeen

10\cdot r_{2}

m

…

r_{n}

on jäännös luvulla jakamisen jälkeen .

10\cdot r_{{n-1}}

m

Muodollisesti:

r_{1}\equiv 10{\pmod m}

r_{i}\equiv 10\cdot r_{{i-1}}{\pmod m},\;i=\overline {2...n}

Koska tähteitä on äärellinen määrä (eli enintään ), tämä prosessi etenee sykleissä (viimeistään vaiheittain) eikä sitä voida jatkaa: Alkaen jostain , missä on tuloksena oleva sekvenssijakso . Yhdenmukaisuuden vuoksi voimme olettaa, että . $m$ $m$ $i=i_{0}:~r_{{i+p}}=r_{i}$ $s$ $\{r_{i}\}$ $r_{0}=1$

Sitten sillä on sama jakojäännös kuin numerolla $A$ $m$

$r_{n}\cdot a_{n}+\ldots +r_{2}\cdot a_{2}+r_{1}\cdot a_{1}+a_{0}$ .

Todiste

Käyttämällä sitä tosiasiaa, että algebrallisessa lausekkeessa modulossa voimme korvata luvut niiden jäännöksillä jaettuna luvulla , saamme: $m$ $m$

$A{\pmod {m}}=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}}){\pmod {m} }=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}}}\cdot 10+a_{0}){\pmod {m}}$ $=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}}}\cdot r_{1}+a_{0}r_{0}){\pmod {m}}$ $=(({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2))}\cdot 10+a_{1})\cdot r_{1}+a_{0}r_{ 0}){\pmod {m}}$ $=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}}}\cdot 10r_{1}+a_{1}r_{1}+a_{0}r_{0 }){\pmod {m}}$ $=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2))}\cdot r_{2}+a_{1}r_{1}+a_{0}r_{0 }){\pmod {m}}=\ldots =$ $(a_{n}r_{n}+\ldots +a_{2}r_{2}+a_{1}r_{1}+a_{0}r_{0}){\pmod {m))$

Tärkeimmät erikoistapaukset

Testaa jaollisuus 2:lla

täällä . Siitä lähtien . Sieltä saamme hyvin tunnetun merkin: luvun jakojäännös kahdella on yhtä suuri kuin sen viimeisen numeron jaon jäännös 2:lla , tai yleensä: luku on jaollinen kahdella, jos sen viimeinen numero on parillinen . $m = 2$ $10~\vdots ~2$ $r_{0}=1,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N}$

Jaomerkit 3:lla ja 9:llä

Täällä tai . Koska ( 10:n jakaminen sekä 3:lla että 9:llä on 1 ), niin kaikki . Tämä tarkoittaa, että luvun jakojäännös 3:lla (tai 9:llä) on yhtä suuri kuin sen numeroiden summan jakaminen kolmella (vastaavasti 9:llä) tai muuten: luku on jaollinen 3:lla (tai 9:llä), jos sen numeroiden summa on jaollinen luvulla 3 (tai 9 ) . $m = 3$ $m = 9$ $10^{i}\equiv 1{\pmod {3)),i\in \mathbb {N}$ $r_{i}=1$

Testi jaollisuudelle 4:llä

täällä . Löydämme tähteiden sarjan: . Tästä saamme merkin: luvun jaon jäännös 4:llä on yhtä kuin 4 :llä jakamisen jäännös , tai huomioiden, että jäännös riippuu vain kahdesta viimeisestä numerosta: luku on jaollinen 4:llä, jos luku koostuu sen 2 viimeistä numeroa on jaollinen 4:llä . $m = 4$ $r_{0}=1,~r_{1}=2,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N}$ ${\displaystyle 2\cdot a_{1}+a_{0))$

Viidellä jaollinen merkki

täällä . Siitä lähtien . Sieltä saamme hyvin tunnetun merkin: luvun jakojäännös viidellä on yhtä suuri kuin sen viimeisen numeron jakamisen jäännös viidellä , tai yleensä: luku on jaollinen 5:llä, jos sen viimeinen numero on 0 tai 5 . $m = 5$ $10~\vdots~5$ $r_{0}=1,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N}$

7:llä jaollinen merkki

täällä . Löydämme loput. $m = 7$

$10=1\cdot 7+3\Rightarrow r_{1}=3$
$10\cdot r_{1}=4\cdot 7+2\Rightarrow r_{2}=2$
$10\cdot r_{2}=2\cdot 7+6\Rightarrow r_{3}=6$
$10\cdot r_{3}=8\cdot 7+4\Rightarrow r_{4}=4$
$10\cdot r_{4}=5\cdot 7+5\Rightarrow r_{5}=5$
$10\cdot r_{5}=7\cdot 7+1\Rightarrow r_{6}=1=r_{0}$ , sykli on suljettu.

Siksi mille tahansa numerolle

A=\overline {a_{n}a_{{n-1}}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}

sen jäännös on jaettuna 7:llä

a_{0}+3a_{1}+2a_{2}+6a_{3}+4a_{4}+5a_{5}+a_{6}+\lpistettä

. Esimerkki

Harkitse numeroa 48916. Kuten edellä on osoitettu,

48916\equiv 6+3\cdot 1+2\cdot 9+6\cdot 8+4\cdot 4=

6+3+18+48+16=91\equiv 0{\pmod {7}}

joten 48916 on jaollinen 7:llä.

11:llä jaollinen merkki

täällä . Siitä lähtien kaikki , a . Täältä saat yksinkertaisen kriteerin jaettavaksi 11:llä: $m=11$ $10^{2n}=99\cdot 101\ldots 01+1\equiv 1{\pmod {11}}$ $r_{2i}=1$ $r_{2i-1}=10\equiv -1{\pmod {11))$

loppuosa luvun jakamisesta 11:llä on yhtä suuri kuin sen numeroiden summan jakojäännös, jossa jokainen pariton (yksiköistä alkaen) numero otetaan "-"-merkillä 11:llä.

Yksinkertaisesti sanottuna:

jos jaat luvun kaikki numerot kahteen ryhmään - yhden numeron kautta (kaikki parittomat numerot kuuluvat yhteen ryhmään ja parilliset toiseen), lisää jokaisen ryhmän kaikki numerot ja vähennä yksi saatu summa muu, sitten jakojäännös 11:llä. Tulos on sama kuin alkuperäinen luku.

Kirjallisuus

Vorobjov N. N. Jakautuvuuden merkit . - 4. painos - M .: Nauka, 1988. - T. 39. - 94 s. - ( Suosittuja matematiikan luentoja ). — ISBN 5-02-013731-6 .