Harnackin periaate

Harnackin periaate (Harnackin toinen lause ) on lause monotonisen funktiosarjan ominaisuuksista, jotka ovat harmonisia rajoitetulla alueella, laajentaen konvergenssin tietyssä pisteessä konvergenssiksi koko alueella. Sen perusti saksalainen matemaatikko Axel Harnack vuonna 1886 .

Muodollisesti, anna olla positiivisia harmonisia toimintoja jollakin alalla; jos rivi: $v_{n}(z)$ $D$

\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}(z)

konvergoi ainakin yhdessä pisteen toimialueen , sitten se konvergoi tasaisesti sisällä . $D$ $D$

Todiste

Antaa olla ympyrä, jonka keskus on ja säde Makaa . Kertomalla epäyhtälö , jossa , ja integroimalla alueen sisällä - saamme , josta seuraa, että jos sarja konvergoi jossakin pisteessä, niin se suppenee jokaisessa pisteessä sisällä . Antaa olla ketju ympyröitä makaa ja sellainen, että lähentymispiste on ympyrän keskipiste , kunkin sijaitsee sisällä , sijaitsee sisällä , jossa on mielivaltaisesti valittu kohta . Jossain pisteessä sarja osoittautuu edellisen johdosta konvergentiksi, mutta - missä tahansa kohdassa sarja siis suppenee alueella . Antaa olla mielivaltainen ympyrä keskus ja säde , joka sijaitsee , on samankeskinen ympyrä suuremman säteen , myös makaa . Kertomalla epäyhtälö , jossa , ja integroimalla yli rajojen sisällä - , saamme pisteessä , joten sarja on pääsääntöisesti ympyrän numeerisella konvergenttisarjalla ja sen vuoksi suppenee tasaisesti , mutta - mikä tahansa ympyrä , siksi , sarja suppenee tasaisesti sisällä . $K$ $z_{0}$ $R$ $D$ ${\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\alpha -\phi )+r^{2}}}\leq {\frac {R+r }{Rr}}$ $0\leq r<R$ ${\frac {1}{2\pi }}v_{{n}}(z_{{0}}+Re^{{i\alpha }})$ $\alpha$ $-\pi$ $\pi$ $v_{{n}}(z_{{0}}+Re^{{i\alpha }})\leq {\frac {R+r}{Rr}}v_{{n}}(z_{{0} })$ $z_{0}$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$ $K$ $K_{{1}},K_{{2}},...,K_{{m}}$ $D$ $z_{0}$ $K_{1}$ $K_{{j}}(1<j\leq m)$ $K_{{j-1}}$ $Z$ $K_{m}$ $Z$ $D$ $Z$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}$ $Z$ $D$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}$ $D$ $K$ $z_{1}$ $\rho$ $D$ $\overline {K}$ $R$ $D$ ${\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\alpha -\phi )+r^{2}}}\leq {\frac {R+\rho }{R-\rho }}$ $0\leq r<\rho$ ${\frac {1}{2\pi }}v_{{n}}(z_{{1}}+Re^{{i\alpha }})$ $\alpha$ $-\pi$ $\pi$ $v_{{n}}(z_{{1}}+Re^{{i\alpha }})\leq {\frac {R+\rho }{R-\rho }}v_{{n}}(z_{ {yksi}})$ $0\leq r<\rho$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$ $K$ $\sum _{{1}}^{\infty }{\frac {R+\rho }{R-\rho }}v_{{n}}(z_{{1}})$ $K$ $K$ $D$ $\sum _{{1}}^{\infty }v_{{n}}(z)$ $D$

Seuraus

Jos kasvava tai laskeva harmonisten funktioiden sarja jossain toimialueella konvergoi vähintään yhdessä pisteessä kyseisellä alueella, niin se konvergoi tasaisesti sisällä . $D$ $D$

Kirjallisuus

Romanovsky P. I. Fourier-sarja. Kenttäteoria. Analyyttiset ja erikoistoiminnot. Laplace-muunnos. M., Nauka, 1980, 336 s., ampumarata. 28000 kappaletta