Jacobilainen ongelma

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5. helmikuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Jacobilainen ongelma on ongelma polynomien ominaisuuksista useissa muuttujissa.

Ehdot

Tarkastellaan joukkoa polynomeja , joilla on monimutkaiset kertoimet muuttujissa : ${\overline {X}}=X_{1},X_{2},...,X_{N}$

f_{1},f_{2},...,f_{N}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]\qquad (yksi)

Oletetaan, että yhtälöjärjestelmä mille tahansa joukolle ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N))$

f_{1}=b_{1},f_{2}=b_{2},...,f_{N}=b_{N}

on ainutlaatuinen ratkaisu ja on olemassa sellaisia polynomeja ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{N})\in \mathbb {C} ^{N))$

g_{1},g_{2},g_{3},...g_{N}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N }]

että jokainen . Polynomien oletetaan olevan riippumattomia vapaiden termien joukosta . Tämä vastaa sitä tosiasiaa, että jokainen polynomi kohteesta on yksiselitteisesti edustettuna polynomina kohteesta (ja ). Järjestelmä (1) määrittelee polynomikuvauksen , jonka alla $a_{i}=g_{i}(b_{1},b_{2},...,b_{N})$ ${\displaystyle g_{1},g_{2},...,g_{N))$ ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N))$ $\mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},...f_{N))$ ${\displaystyle g_{1},g_{2},...g_{N))$ ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{N}\rightarrow \mathbb {C} ^{N))$

f(a_{1},...,a_{N})=(f_{1}(a_{1},...,a_{N}),f_{2}(a_{1} ,...,a_{N}),...,f_{N}(a_{1},...,a_{N}))=(b_{1},b_{2},... ,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N}\qquad (2)

Kartoitus on yksi yhteen. Lisäksi käänteinen kartoitus , joka tarkoittaa $f$ $f^{-1}$ ${\displaystyle (b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N))$

f^{-1}(b_{1},...,b_{N})=(g_{1}(b_{1},...,b_{N}),g_{2} (b_{1},...,b_{N}),...,g_{N}(b_{1},...,b_{N}))=(a_{1},a_{2 },...,a_{N})\in \mathbb {C} ^{N}

on myös polynomi.

Yhdistä mielivaltainen muodon (2) polynomikuvaus neliömatriisiin (Jacobian kuvauksesta ) , jonka koko on , jossa osittaisderivaata on paikallaan . Määrittelemme toisen polynomikartoituksen ja tarkastelemme niiden koostumusta , jonka Jacobi-matriisi on yhtä suuri kuin $f$ $J(f)({\overline {X)))$ $N$ $(i, j)$ $\partial f_{i}/\partial X_{J}$ $h:\mathbb {C} ^{N}\rightarrow C^{N}$ $fh$

J(fh)({\overline {X)))=J(f)(h({\overline {X))))J(h)({\overline {X))))

Laskemalla determinantit saamme sen

\det(J(fh))({\overline {X)))=\det(J(f))(h({\overline {X))))\det(J(h))( {\overline {X)))

Erityisesti, jos polynomikuvaukset ja annetaan , niin niiden koostumus on identiteettikartoitus. Siksi identiteettimatriisi , jolloin determinantille siirryttäessä yksikkö on yhtä suuri kuin polynomien tulo, joten nämä polynomit ovat yhtä suuria kuin vakiot, erityisesti $f$ $f^{{-1}}$ $E=J(f^{-1}f)({\overline {X)))=J(f^{-1})(f({\overline {X))))J(f) ({\overline {X)))$

\det(J(f))({\overline {X)))

on nollasta poikkeava vakio.

Sanamuoto

Jacobilainen ongelma koostuu käänteisen ongelman ratkaisemisesta. Olkoon muodon (2) polynomikuvaus annettu nollasta poikkeava vakio. Onko totta, että on olemassa käänteinen polynomikuvaus? Onko mahdollista esittää jokaista polynomia in polynomina ? $f$ $\det(J(f))$ $C[X_{1},X_{2},...,X_{N}]$ $f_{1},f_{2},...,f_{n}$

Tulokset

Vuoteen 2022 asti ongelma ratkaistiin tapaukselle, jossa ja asteet eivät ole suurempia kuin 150, ja myös jos kaikki, paitsi kaikkien polynomien asteet eivät ole suurempia kuin 2. [1] Lisäksi yleisen väitteen todistamiseen riitti todistaa se tapauksessa, jossa jokainen on polynomi, jonka aste on enintään 3 [1] . $N = 2$ $f_{1},f_{2}$ $N$ $f_{1},f_{2},...,f_{N}$ $f_{i}$

Muistiinpanot

↑ 1 2 Kostrikin, "Johdatus algebraan", v.1, s. 259-260

Kirjallisuus

V. A. Artamonov Ratkaistuista ja avoimista ongelmista polynomien teoriassa // Soros Educational Journal , 2001, nro 3, s. 110-113;