Baer-luokka

Baer-luokka on yksi tapa erottaa "suuret" ja "pienet" sarjat. Topologisen avaruuden osajoukko voi kuulua ensimmäiseen tai toiseen Baire-luokkaan.

Nimetty ranskalaisen matemaatikon René-Louis Baerin mukaan .

Määritelmät

Topologiset avaruudet , jotka sallivat laskettavan peitteen ei missään tiheillä osajouksilla , kuuluvat ensimmäisen Baer-luokan avaruuteen , ne, jotka eivät salli tällaista peittoa, kuuluvat toisen Baer-luokan avaruuteen.
Topologisen avaruuden osajoukkoa, joka voidaan esittää laskettavana joukona , joka ei ole missään tiheä , kutsutaan avaruuden ensimmäisen Baire-luokan joukoksi . $X$ $X$ $X$
Joukkoa, jota ei voida esittää tässä muodossa, kutsutaan toisen Baer-luokan joukoksi avaruudessa . $X$
Topologista avaruutta, jossa mikään ensimmäisen kategorian joukko ei sisällä sisäpisteitä, kutsutaan Baer-avaruudeksi .

Ominaisuudet

Analyysin kannalta on kätevää, kun kyseinen avaruus kuuluu toiseen Baer-luokkaan, koska osoitus tähän luokkaan vastaa olemassaolon lauseiden pätevyyttä , kuten:

Jos toisen Baer-luokan avaruuden kattaa laskettava suljettujen joukkojen perhe, niin ainakin yhdellä niistä on sisäpiste (sisäpisteen olemassaololause ).
Toisen Baer-luokan avaruudessa jokaisella laskettavalla avoimien kaikkialla tiheiden joukkojen perheellä on ei-tyhjä leikkauspiste ( yhteisen pisteen olemassaololause ).

Jos tila kuitenkin kuuluu ensimmäiseen Baer-luokkaan, tästä voidaan saada vain negatiivisia tuloksia - esimerkiksi mikä tahansa tämän avaruuden mittari , joka on yhteensopiva topologian kanssa, on epätäydellinen ja minkä tahansa (ei-tyhjän) avoimen sulkeminen osajoukko ei ole kompakti . Tästä syystä esimerkiksi polynomien avaruus on epätäydellinen missä tahansa metriikassa, jossa se on topologinen vektoriavaruus (laskettava -ulotteinen vektoriavaruus missä tahansa vektoritopologiassa kuuluu ensimmäiseen Baer-luokkaan).

Baire-kategorioiden soveltaminen tietyn topologisen avaruuden osajoukkoon on järkevää, jos ambient-avaruus kuuluu toiseen Baire-luokkaan (muuten kaikki osajoukot ovat ensimmäinen luokka kyseisessä avaruudessa). Karkeasti sanottuna ensimmäisen luokan sarjoja pidetään "pieninä" ("laiha") ja toista "suurina" ("rasva").

Tässä mielessä kategorian käsite muistuttaa suuren käsitettä , mutta toisin kuin mitta , osajoukon luokka riippuu vain sulkevan tilan topologiasta.

Tämä tekee siitä kätevän käyttää tiloissa ilman luonnollisesti määriteltyä mittaa. Kategorian avulla voidaan esimerkiksi antaa täsmällinen merkitys sellaisille käsitteille kuin "melkein kaikki euklidisen avaruuden kompaktit konveksit osajoukot ".

Baerin lause

Lause. Täydelliset metriset tilat ja paikallisesti kompaktit Hausdorff -tilat kuuluvat Bairen toiseen kategoriaan.

Sen todistamiseksi riittää osoittamaan, että jokaisella laskettavalla avointen kaikkialla tiheiden joukkojen perheellä on ei-tyhjä leikkauspiste. $G_{k}\;(k=1,\;2,\;\ldots )$

Täydellisen metrinen avaruuden tapauksessa pallojen sarja muodostetaan induktiivisesti siten, että kunkin ja pallon säde olisi pienempi kuin . Suljettujen pallojen supistumisjaksolla on ei-tyhjä leikkauspiste tilan täydellisyyden vuoksi, ja näiden pallojen yhteinen piste on yhteinen sarjoille . $B_{k}$ $k$ ${\bar {B}}_{k+1}\subset B_{k}\cap G_{k}$ $B_{k}$ $2^{-k}$ $G_{k}$

Jos kyseessä on paikallisesti kompakti Hausdorff-avaruus, rakennamme induktiivisesti sekvenssin avoimia joukkoja siten, että jokaiselle ja joukon sulkeminen on kompakti. Tällöin joukkojen sarja muodostaa keskitetyn suljettujen osajoukkojen järjestelmän kompaktissa Hausdorff-avaruudessa ja sen vuoksi sillä on ei-tyhjä leikkauspiste. $B_{k}$ $k$ ${\bar {B}}_{k+1}\subset B_{k}\cap G_{k}$ $B_{k}$ ${\bar {B}}_{k}$ ${\bar {B}}_{1}$

Esimerkki. Baerin luokkien sovelluksena voidaan osoittaa, että irrationaalisten pisteiden joukko ei voi olla minkä tahansa reaaliviivan funktion kaikkien epäjatkuvuuspisteiden joukko. Minkä tahansa funktion on kaikkien epäjatkuvuuspisteiden joukko on suljettujen joukkojen laskettava liitto, joka koostuu niistä pisteistä, joissa funktion värähtely ei ole pienempi kuin . Jos haluttu funktio olisi olemassa, joukot eivät olisi missään tiheitä, koska niiden liitossa ei ole sisäpisteitä. Tämä merkitsisi, että ensimmäisen luokan joukko on kohdassa ja koska sen komplementissa on myös ensimmäinen luokka, niin koko tila olisi ensimmäisestä kategoriasta, mikä on ristiriidassa sen täydellisyyden kanssa. $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $f$ $\mathbb {R}$ $E_{n}$ $f$ $1/n$ $E_{n}$ $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Katso myös

G-delta setti

Linkit

Okstoby J. Mitta ja kategoria. - Käännös englannista. - M.: Mir, 1974. - 157 s.