Urysohn avaruus

Urysohn-avaruus on metrinen avaruus , tietyssä mielessä universaali. Yleensä merkitty . $\mathbb {U}$

Määritelmä

Urysohn-avaruus on täydellinen erotettava metriavaruus, jolla on seuraavat kaksi ominaisuutta: $\mathbb {U}$

Universaalisuus: mikä tahansa äärellinen metrinen avaruus on isometrinen jollekin osajoukolle . $\mathbb {U}$
Äärillinen homogeenisuus: sen mille tahansa kahdelle äärelliselle isometriselle osajoukolle mikä tahansa niiden välinen isometria ulottuu globaaliin isometriaan . $Y_{1},Y_{2}\subset \mathbb {U}$ $\mathbb {U}$

Huomautus

Vastaavasti Urysohn-avaruus voidaan määritellä täydelliseksi erotettavaksi metriavaruudeksi , jolla on laajennusominaisuus; toisin sanoen mikä tahansa isometrinen kuvaus äärellisen metrisen avaruuden osajoukosta voidaan laajentaa isometriseksi mappaukseksi . $\mathbb {U}$ $A\to \mathbb {U}$ $A$ $F$ $F\to \mathbb {U}$

Ominaisuudet

Urysohn-avaruus on olemassa ja on ainutlaatuinen isometriaan asti. $\mathbb {U}$

Urysohn-avaruus on kompaktin homogeeninen . Toisin sanoen mikä tahansa kompaktin osajoukon isometrinen kartoitus voidaan laajentaa isometriaan . $\mathbb {U}$ $K\subset \mathbb {U}$ $U$ $\mathbb {U}$

Urysohn-avaruus on homeomorfinen lukemattoman määrän todellisten juovien tulolle. [yksi] $\mathbb {U}$

Jollakin luonnollisella menetelmällä satunnaisen täydellisen erotettavan metrisen avaruuden generoimiseksi tuloksena oleva avaruus osoittautuu lähes varmasti isometriseksi Urysohn-avaruuteen nähden.
- Tämä ominaisuus on analoginen Rado-Erdős-Rényi-graafin perusominaisuuden kanssa .

Historia

Maurice Fréchet osoitti, että avaruus on $\ell ^{\infty }$ universaali, eli se sisältää isometrisen kopion mistä tahansa erotettavasta metriavaruudesta. Toisin kuin Urysohn-avaruus, se ei kuitenkaan ole täysin homogeeninen eikä erotettavissa. Hän esitti kysymyksen erotettavan tilan olemassaolosta tämän kiinteistön kanssa. Tällaisen tilan rakensi Pavel Samuilovich Uryson . [2] $\ell ^{\infty }$

Miroslav Katetov vastasi myönteisesti Urysonin esittämään kysymykseen epätäydellisen universaalin äärellisen homogeenisen avaruuden olemassaolosta . [3] Samassa artikkelissa esitetään Urysohn-avaruuden hieman yksinkertaistettu rakenne.

Muistiinpanot

↑ V. Uspenskij. "Urysohnin universaali metriavaruus on homeomorfinen Hilbert-avaruuden kanssa." TopologyAppl. 139.1-3 (2004), 145-149.
↑
- "Sur un espace metrique universel" Comptes Rendus Acad, Paris, 180 (1925), s. 803 (lyhyt tiedonanto)
- "Sur un espace metric universel" Bull, de Sciences Mathematiques, 2. sarja, osa 51, s. 1-38.
  - Käännös: Uryson, PS "Universaalista metristä avaruutta." PS Uryson. Työskentelee topologiassa ja muilla matematiikan osa-alueilla. M: 747 - 777.
↑ M. Kattov. "Universaalisilla metriavaruuksilla". Yleinen topologia ja sen suhteet moderniin analyysiin ja algebraan, VI (Praha, 1986). Voi. 16.Res. Exp. Matematiikka. Heldermann, Berliini 1988, 323–330.

Linkit

S. A. Bogatyi, Urysonin universaalin metriavaruuden kompakti homogeenisuus , Russian Math .

A. M. Vershik , Satunnainen metriavaruus on Urysohn-avaruus, Dokl. RAN , 387 :6 (2002), 733-736

A. M. Vershik, Universality and Randomness in Geometry and Analysis , videotallenne luennosta 28. syyskuuta 2006 Mathematical Instituten All-Institute-seminaarissa "Mathematics and Its Applications" . V. A. Steklov RAS.

A. M. Vershik, Random Metric spaces and universality , Uspekhi Mat . Nauk , 59 :2(356) (2004), 65-104.

J. Melleray, Jotkut Urysohn-avaruuden geometriset ja dynaamiset ominaisuudet. TopologyAppl. 155 (2008), nro. 14, 1531–1560.