Schmidtin hajoaminen

Schmidtin dekompositio on tietyn tyyppinen lauseke vektorille kahden Hilbert -avaruuden tensoritulossa . Itse asiassa se on matriisien singulaariarvon hajottelun uudelleenmuotoilu .

Sillä on lukuisia sovelluksia kvanttiinformaatioteoriassa , kuten takertuminen . Nimetty Erhard Schmidtin mukaan .

Sanamuoto

Olkoon ja olla Hilbert - avaruuksia mitoissa ja vastaavasti. Oletetaan . Sitten mille tahansa tensoritulon vektorille on olemassa ortonormaalit vektorijoukot ja sellaiset, että $H_1$ $H_2$ $m$ $n$ $m\geq n$ $w$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2))$ ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{n}\}\subset H_{1))$ ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}\subset H_{2))$

w=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i},

missä ovat todelliset ei-negatiiviset luvut. Lisäksi multiset määrittää yksilöllisesti . $\alpha_i$ ${\displaystyle \{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\))$ $w$

Muistiinpanot

Vektorijoukkoja ja kutsutaan Schmidtin emäksiksi . ${\displaystyle \{u_{1},\ldots ,u_{n}\}\subset H_{1))$ ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}\subset H_{2))$ $w$
Numeroita kutsutaan Schmidt-kertoimiksi for . ${\displaystyle \{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\))$ $w$