Rostock (matematiikka)

Topologisessa avaruudessa olevan objektin alkio ilmaisee kohteen paikallisia ominaisuuksia. Tietyssä mielessä voimme sanoa, että tämä on uusi objekti, joka ottaa haltuunsa vain sen synnyttäneen kohteen paikalliset ominaisuudet (useimmiten kartoitukset toimivat sellaisina objekteina ). On selvää, että eri toiminnot voivat määrittää saman alkion. Tässä tapauksessa tällaisten funktioiden kaikki paikalliset ominaisuudet (jatkuvuus, tasaisuus jne.) ovat samat, ja riittää, kun tarkastellaan ei itse funktioiden ominaisuuksia, vaan vain niiden alkioita. Tärkeää on esitellä paikallisuuden käsite, joten bakteerit otetaan huomioon topologisessa avaruudessa olevissa objekteissa.

Muodollinen määritelmä

Olkoon topologisen avaruuden piste ja kaksi kuvausta mihin tahansa joukkoon . Sitten sanomme sen ja määritämme saman alkion , jos pisteellä on sellainen naapuruus, että rajoitukset päälle ja päälle kohtaavat. Tuo on, $x$ $X$ $f,\;g:X\to Y$ $Y$ $f$ $g$ $x$ $U$ $x$ $f$ $g$ $U$

f|_{U}=g|_{U}

(joka tarkoittaa ). $\forall x'\in U,\;f(x')=g(x')$

Samoin puhutaan kahdesta osajoukosta : ne määrittelevät saman alkion, jos on olemassa naapurusto , jossa: $S,\;T\subset X$ $x$ $U$

S\cap U=T\cap U.

Ilmeisesti identtisten itiöiden määrittäminen pisteessä on ekvivalenssirelaatio (vastaavasti kartoituksissa tai joukoissa), ja näitä ekvivalenssiluokkia kutsutaan bakteereiksi (kartan iduiksi tai joukko-iduiksi). Ekvivalenssisuhde on yleensä merkitty tai . $x$ $f\sim _{x}g$ $S\sim _{x}T$

Tietyn kartan alkio pisteessä on yleensä merkitty . Vastaavasti joukon määrittelemää alkiota merkitään . $f$ $x$ $[f]_{x}$ $S$ $[S]_{x}$

[f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.

Alkukartoitus pisteestä pisteeseen on kirjoitettu , joten se on kokonainen vastaavuusluokka kartoituksista, ja on tapana ymmärtää mikä tahansa edustava kartoitus. Voidaan myös huomata, että kaksi joukkoa ovat ekvivalentteja (määrittelevät saman joukon alkion), jos niiden ominaisfunktiot ovat samanarvoisia (suhteessa kartoittaviin bakteereihin): $x\in X$ $y\in Y$ $(X,\;x)\to (Y,\;y)$ $f$ $f$

S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.

Kirjallisuus

Mishachev N.M., Eliashberg Ya.M. Johdatus h -periaatteeseen . - M .: Moscow Centre for Continuous Mathematical Education, 2004. - ISBN 5-94057-126-3 .