Eisenstein-sarja

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3. huhtikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Eisenstein-sarja , joka on nimetty saksalaisen matemaatikon Ferdinand Eisensteinin mukaan, ovat erityisiä yksinkertaisia esimerkkejä modulaarisista muodoista , jotka on annettu nimenomaisesti kirjoitetun sarjan summana.

Määritelmä

Eisensteinin painosarja on ${\displaystyle G_{2k))$ $2k$ funktio, joka on määritelty ylemmällä puolitasolla ja annettu sarjan summana $\{Im(\tau )>0\}\subset \mathbb {C}$

G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k))}.

Tämä sarja konvergoi ehdottomasti muuttujan holomorfiseen funktioon . $\tau$

Ominaisuudet

Modulaarisuus

Eisenstein-sarja määrittelee painon modulaarisen muodon : kaikille kokonaisluvuille , joissa meillä on $2k$ $a,b,c,d\in \mathbb {Z}$ $ad-bc=1$

G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d))\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau ).

Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että Eisenstein-sarja voidaan esittää 1:n ja τ:n generoiman hilan funktiona laajentaen sen koko hila-avaruuteen: $\Gamma =\langle 1,\tau \rangle$

G_{2k}(\Gamma )=\sum _{z\in \Gamma \setminus \{0\}}z^{-2k}.

Sitten Modulaarisuusrelaatio vastaa sitten saman hilan (joka ei muuta arvoa ) kannasta kantaan siirtymistä ja uuden kannan toisen elementin normalisointia 1:llä. $G_{2k}(\lambda \Gamma )=\lambda ^{-2k}G_{2k}(\Gamma ).$ $\{\tau ,1\}$ ${\näyttötyyli \{a\tau +b,c\tau +d\))$ $G_{2k}(\Gamma )$

Modulaaristen muotojen esitys

Lisäksi, kuten käy ilmi, mikä tahansa modulaarinen muoto (mielisen painoinen ) ilmaistaan polynomina ja : $2 m$ ${\displaystyle G_{4))$ ${\displaystyle G_{6))$

f=\sum _{4k+6l=2m}a_{k}G_{4}^{k}G_{6}^{l}.

Yhteys elliptisellä käyrällä

$\wp$ -Elliptisen käyrän Weierstrass-funktio laajenee Laurent-sarjaksi nollapisteessä $E=\mathbb {C} /\Gamma$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2 }(\Gamma )z^{2k}.

Erityisesti käyrän E modulaariset invariantit ovat

g_{2}=60G_{4},\quad g_{3}=140G_{6}.

Kirjallisuus

A. Weil, Elliptiset funktiot Eisensteinin ja Kroneckerin mukaan ( Springer-Verlag , Berlin, Heidelberg, New York 1976), käännetty englannista. Yu. I. Manina, M.: "Mir", 1978:
Serre J.-P., Aritmetiikan kurssi. M.: Mir, 1972.
Kubota T. Eisenstein-sarjan perusteoria. - M. , Nauka , 1986. - 136 s.