Symbolinen dynamiikka

Symbolinen dynamiikka on yhdistävä nimi dynaamisten järjestelmien luokalle , jolle vaiheavaruuden pisteet ovat jonkin äärellisen "symbolien" aakkoston sekvenssejä, ja kartoitus koostuu sekvenssin siirtämisestä yhdellä symbolilla vasemmalle.

Yksinkertaisimmat esimerkit ovat Bernoullin siirto ja Markovin siirto . Symbolinen dynamiikka syntyy myös kohtalon näyttämistä ajatellen .

Perusesimerkkejä

Bernoulli-siirto

Antaa olla sekvenssien tila aakkosissa , eli $\Sigma _{s}^{{+}}$ $\{1,\pisteet ,s\}$

\Sigma _{s}^{{+}}=\{(\omega _{j})_{{j=1}}^{{\infty }}\mid \forall j\quad w_{j}\ kohteessa \{1,\dots ,s\}\}.

Bernoulli-siirto on dynaaminen järjestelmä , jossa on vasemman siirron kartoitus, $(\Sigma _{s}^{{+}},\sigma )$ $\sigma$

(\sigma (\omega ))_{j}=\omega _{{j+1}}.\qquad (*)

Harkitsemme myös vasemman siirtymän kuvaamista kaksipuolisten äärettömien sekvenssien avaruudessa

\Sigma _{s}=\{(\omega _{j})_{{j=-\infty }}^{{\infty }}\mid \forall j\quad w_{j}\in \{1 ,\pisteet ,s\}\};

tuloksena olevaa dynaamista järjestelmää kutsutaan myös Bernoulli-siirtymäksi. Tarvittaessa selventääksemme, mitä järjestelmistä tarkoitetaan, ensimmäistä järjestelmää kutsutaan yksipuoliseksi Bernoulli-siirtymäksi ja toista kaksipuoliseksi . $(\Sigma _{s},\sigma )$

Markovin vaihto

Destiny Mapping

Jos dynaamisen järjestelmän vaiheavaruus jaetaan hajallaan olevien joukkojen liitoksi,

X=\bigsqcup _{{i=1}}^{N}B_{i},

mikä tahansa piste voidaan yhdistää sen kohtaloon - joukkojen sarja, jolla sen kiertorata vierailee: $x\in X$

x\mapsto (i_{k}),\quad f^{k}(x)\in B_{{i_{k}}}.\qquad (*)

Lisäksi irreversiibelissä dynaamisissa järjestelmissä sekvenssi on yksipuolinen, ts. , ja käännettävissä järjestelmissä otetaan yleensä huomioon kaksipuoliset äärettömät sekvenssit, . $(i_{k})$ $k = 0,1,2,\pisteet$ $k\in \mathbb{Z }$

Kaavalla (*) annettua kuvausta tai , kutsutaan kohtalokuvaukseksi (vastaten annettua vaiheavaruuden jakoa). Tällainen kartoitus tyydyttää automaattisesti suhteen $h:X\to \Sigma _{N}$ $h:X\Sigmaan _{N}^{+}$

h\circ f=\sigma \circ h.

Vaikka kohtalokartta ei ole a priori surjektiivinen, injektiivinen tai jatkuva, sitä käytetään usein erilaisten kartoitusten konjugaatioiden tai puolikonjugaatioiden rakentamiseen. Siinä tapauksessa, että kohtalon kartoitus on injektiivinen, puhutaan dynamiikan symbolisesta koodauksesta - koska kartoituksen soveltaminen muuttuu dynamiikaksi symbolisessa tilassa tai sen puolelta. $\Sigma _{N}$

Ominaisuudet

Esimerkkejä

Invarianttimitat

Kirjallisuus

P. Billingsley, Ergodinen teoria ja informaatio.
V. I. Arnold, D. V. Anosov, Yu. S. Ilyashenko et ai., Dynamic Systems-1, VINITI.
Katok A. B. , Hasselblat B. Johdatus nykyaikaiseen dynaamisten järjestelmien teoriaan ja katsaus viimeaikaisiin saavutuksiin / Per. englannista. toim. A.S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 s. — ISBN 5-94057-063-1 .