Symmetrinen monoidaalinen luokka

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7.9.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Kategoriateoriassa symmetrinen monoidiluokka on monoidinen luokka , jossa tensoritulooperaatio on "mahdollisimman kommutoiva". Symmetrisessä monoidikategoriassa mille tahansa kohteelle valitaan isomorfismi , ja kaikki nämä isomorfismit yhdessä muodostavat luonnollisen perheen. $\gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A$

Muodollinen määritelmä

Symmetrinen monoidaalinen luokka on monoidaalinen luokka , jossa isomorfismi valitaan kahdelle kohteelle ja ja seuraava kuusikulmainen kaavio myös kommutoidaan : $\gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A$ $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}=Id$

Esimerkkejä

Mikä tahansa karteesinen suljettu luokka on symmetrinen suljettu monoidiluokka. Tämä antaa esimerkkejä, kuten Set ja Cat (joukkojen luokka ja pienten kategorioiden luokka).
Vektoriavaruudet kiinteän kentän k yläpuolella tensoritulolla muodostavat monoidaalisen luokan. Kartoitus , joka on määritelty muodon hajotettaville elementeille ja jota on laajennettu lineaarisuuden avulla, määrittelee ilmeisesti symmetrisen monoidiluokan rakenteen siinä. $V\otimes W\otimes V$ $v\otimes w$

Monoidiset luokat solmituksi

Solmittu monoidiluokka on yleistys symmetrisestä monoidikategoriasta; se ei enää vaadi sitä . Yhden kuusikulmiokaavion kommutatiivisuuden sijasta on kuitenkin vaadittava kahden kommutatiivisuutta: $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id))$

Symmetrisessä tapauksessa molemmat kaaviot kommutoivat myös, mutta toisen kommutatiivisuus seuraa toisen kommutatiivisuudesta ja ominaisuudesta . $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id))$

Nimi punottu monoidaalinen luokka tulee punosryhmästä . Itse asiassa nämä käsitteet ovat syvästi kietoutuneet toisiinsa. Monoidiselle luokalle, jossa on solmu, samoin kuin tavalliselle monoidiselle kategorialle, koherenssilause on totta, jonka mukaan mikä tahansa kaavio, jonka nuolille on kirjoitettu koostumuksia ja käänteisarvoja, on kommutatiivinen. Tarkemmin sanottuna se toteaa, että monoidisessa solmukategoriassa B mitkä tahansa kaksi luonnollisesti isomorfista funktiota B n :stä B :hen, jotka on rakennettu sovelluksista argumentteihin ja sulkeisiin, ovat luonnollisesti isomorfisia ainutlaatuisella , kanonisella tavalla. Jokainen nuoli, johon muunnos on kirjoitettu ja joka koostuu yllä olevista symboleista, voidaan liittää punosryhmän elementtiin ( muunnos liittyy esimerkiksi kahden langan "kiertymiseen", on helppo nähdä, että ) . Osoittautuu, että kaksi tällaista funktoria ovat luonnostaan isomorfisia, jos ne vastaavat samaa punosryhmän elementtiä. $\gamma ,\alpha ,\lambda ,\rho ,e,\otimes ,{\text{Id))$ $\otimes$ $\gamma$ $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}\neq {\text{Id))$

Symmetriset monoidifunktiot

Symmetristen monoidisten luokkien C ja D välistä monoidista funktionaalia F kutsutaan symmetriseksi, jos vastaava luonnollinen muunnos kommutoidaan kanssa , eli mille tahansa luokan C A , B :lle kommuteeraa seuraava kaavio: $\phi$ $\lambda$

Symmetrinen monoidaaliset luonnolliset muunnokset

Monoidaalinen luonnollinen muunnos monoidaalisten funktioiden ja monoidisten luokkien välillä: on luonnollinen muunnos , jossa seuraavat kaksi kaaviota liikkuvat: ${\näyttötyyli (F,\Phi ,\phi )}$ ${\näyttötyyli (G,\Gamma,\gamma)}$ $C\to D$ $\alpha :C\to D$

Symmetriset monoidaaliset luonnolliset muunnokset eivät vaadi muita lisäehtoja kuin että ne toimivat symmetristen monoidisten funktioiden välillä.

Monoidaalinen ekvivalenssi

C ja D ovat symmetrisesti monoidaalisesti ekvivalentteja luokkia , jos on symmetrisiä monoidisia funktioita , ja symmetrisiä monoidaalisia luonnollisia isomorfismeja ja . $F:C\to D$ $G:D\to C$ $FG\Leftarrow 1_{C}$ $GF\Leftarrow 1_{D}$

MacLane osoitti lauseen, jonka mukaan mikä tahansa symmetrinen monoidiluokka vastaa monoidisesti (symmetrisesti) tiukkaa monoidista (ja symmetristä) luokkaa.

Aivan kuten pienten kategorioiden 2-luokka määritellään, voidaan määritellä 2-luokkaa pieniä monoidikategorioita ja pieniä symmetrisiä monoidiluokkia sopivilla funktioilla ja luonnollisilla muunnoksilla.

Muistiinpanot ja linkit

Kelly, GM "Basic Concepts of Enriched Category Theory" , London Mathematical Society Lecture Note Series No.64 (CUP, 1982)
Joyal, Andre ; Street, Ross (1993). Punotut tensorikategoriat. Advances in Mathematics 102 , 20-78.
John C. Baez , [ http://math.ucr.edu/home/baez/qg-fall2004/definitions.pdf Joitakin määritelmiä, jotka kaikkien tulisi tietää]
Symmetrinen monoidaaliset luokat nLabissa [