Sekajohdannainen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. helmikuuta 2016 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Määritelmä

Olkoon funktio ja sen osittaiset derivaatat $z=f(x,\;y)$

{\frac {\partial f}{\partial x)),\;{\frac {\partial f}{\partial y))

on määritelty jossain pisteen läheisyydessä . Sitten raja $(x_{0},\;y_{0})$

\lim _{\Delta y\to 0}{\frac {\displaystyle ({\frac {\partial f(x_{0},y_{0}+\Delta y)}{\partial x)) -{\frac {\partial f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x)))){\Delta y)),

jos se on olemassa, sitä kutsutaan funktion sekajohdannaiseksi pisteessä ja merkitään . $f(x,\;y)$ $(x_{0},\;y_{0})$ ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x))$

Samalla tavalla se määritellään ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))$

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\displaystyle ({\frac {\partial f(x_{0}+\Delta x,\;y_{0})}{\partial y ))-{\frac {\partial f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y)))){\Delta x)),

jos se on olemassa.

Sekalaiset osittaiset derivaatat, joiden kertaluku on suurempi kuin kaksi, määritellään induktiivisesti.[ selventää ]

Nimitys

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x))=f'' _{yx}=z''_{yx}$
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y))=f'' _{xy}=z''_{xy}$

Ominaisuudet

Jos sekoitetut derivaatat ovat jatkuvia pisteessä, yhtäläisyys pätee . ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))$

Schwartzin esimerkki

f(x,\;y)={\begin{cases}\displaystyle {xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2} ))),\quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Rightarrow {\frac {\partial ^{2}f( 0,\;0)}{\partial x\partial y))=-1\neq 1={\frac {\partial ^{2}f(0,\;0)}{\partial y\partial x} }

Toisin sanoen Schwartzin esimerkin sekajohdannaiset eivät ole samanarvoisia.

On olemassa lause sekaderivaataiden yhtäläisyydestä

Schwartzin lause

Olkoon seuraavat ehdot täyttyvät:

funktiot on määritelty jossain pisteen ympäristössä . $z=f(x,\;y),\;{\frac {\partial f}{\partial x)),\;{\frac {\partial f}{\partial y)),\; {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y)),\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))$ $(x_{0},\;y_{0})$
${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y)),\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x))$ ovat jatkuvat kohdassa . $(x_{0},\;y_{0})$

Sitten , eli toisen asteen sekaderivaatat ovat yhtä suuret jokaisessa pisteessä, jossa ne ovat jatkuvia. ${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}$

Schwartzin teoreema sekaosittaisderivaataiden yhtäläisyydestä ulottuu induktiivisesti korkeamman asteen sekoitettuihin osittaisderivaataisiin edellyttäen, että ne ovat jatkuvia.

Jatkuvuusehto sekajohdannaisille ei kuitenkaan ole millään tavalla välttämätön Schwarzin lauseessa.

Esimerkki

$f(x,\;y)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}, \quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Rightarrow$ sekoitetut toisen kertaluvun derivaatat ovat yhtäläisiä kaikkialla (mukaan lukien pisteessä ), mutta toisen kertaluvun osittaiset derivaatat eivät ole jatkuvia pisteessä $(0,\;0)$ $(0,\;0)$

Todiste

Siitä lähtien $f(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R} ,f(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R}$ ${\frac {\partial f}{\partial x))(0,\;0)={\frac {\partial f}{\partial y))(0,\;0)=0$

Muissa kohdissa

${\frac {\partial f}{\partial x))(x,\;y)={\frac {2xy^{4)){(x^{2}+y^{2})^ {2}}}$

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\;y)={\frac {2x^{4}y}{(x^{2}+y^{2}) ^{2}}}$

Tällä tavalla,

${\frac {\partial f}{\partial x))(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R}$

${\frac {\partial f}{\partial x))(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R}$

Näin ollen

${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}=0$

klo $(x,\;y)\neq (0,\;0)$

${\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f( x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}={\frac {8x^{3}y^{3}}{(x^{2}+y^{2 })^{3}}}$

On helppo nähdä, että toisella sekajohdannaisella on epäjatkuvuus kohdassa , koska $(0,\;0)$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))(x,\;x)=1$ ja esim.

$\lim _{x\to 0}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y))(x,\;-x)=-1$

[1] .

Muistiinpanot

↑ Ter-Krikorov A. M. , Shabunin M. I. Luku 5. Monien muuttujien funktiot // Matemaattisen analyysin kurssi. - 2. painos - M .: MIPT, 1997. - S. 283. - 716 s. — ISBN 5-89155-006-7 .