Puolueeton estimaattori

Puolueeton estimaatti matemaattisissa tilastoissa on pisteestimaatti, jonka matemaattinen odotus on yhtä suuri kuin arvioitu parametri.

Määritelmä

Olkoon näyte jakaumasta parametrista riippuen . _ Tällöin arviota kutsutaan puolueettomaksi jos ${\vec {x}}=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)$ $\theta \in \Theta$ ${\hat {\theta }}\equiv {\hat {\theta }}\left({\vec {x}}\right)$

{\mathbb {E}}\left[{\hat {\theta }}\right]=\theta ,\quad \forall \theta \in \Theta

missä

$\mathbb {E} \left[X\right]$ — matemaattinen odotus ;
$\kaikille$ on universaali kvantori .

Muussa tapauksessa estimaattia kutsutaan biasiksi ja satunnaismuuttujaa sen biasiksi . $\mathbb {E} {\hat {\theta }}-\theta$

Esimerkkejä

Otoskeskiarvo on matemaattisen odotuksen puolueeton arvio , koska jos , , niin . ${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}$ $X_{i}$ $\mathbb {E} X_{i}=\mu <\infty$ $\forall i\in \mathbb {N}$ ${\mathbb {E}}{\bar {X}}=\mu$

Olkoon riippumattomilla satunnaismuuttujilla äärellinen varianssi . Tehdään arvioita $X_{i}$ ${\mathrm {D}}X_{i}=\sigma ^{2}$

S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}} \oikea)^{2}

on otoksen varianssi ,

S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\ oikealla)^{2}

on korjattu otosvarianssi .

Sitten on parametrin puolueettomat ja puolueettomat estimaatit . Virhe voidaan todistaa seuraavalla tavalla. $S_{n}^{2}$ $S^{2}$ $\sigma ^{2}$ $S_{n}^{2}$

Olkoon ja keskiarvo ja sen arvio, vastaavasti, niin: $\mu$ $\overline {X}$

\operaattorinimi {E} [S_{n}^{2}]=\operaattorinimi {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }(X_{i}-{\overline {X)))^{2}{\bigg ]}.

Lisäämällä ja vähentämällä termit ja sitten ryhmittelemällä termit saadaan: $\mu$

\operaattorinimi {E} [S_{n}^{2}]=\operaattorinimi {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }{\big (}(X_{i}-\mu )-({\overline {X}}-\mu ){\big )}^{2}{\bigg ]}.

Nelitetään se ja saadaan:

\operaattorinimi {E} [S_{n}^{2}]=\operaattorinimi {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }(X_{i}-\mu )^{2}-2({\overline {X}}-\mu ){\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n} (X_{i}-\mu )+{\frac {n}{n}}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.

Huomaamme , että saamme: ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )={\overline {X}}-{\frac {1}{ n}}(n\mu )$

\operaattorinimi {E} [S_{n}^{2}]=\operaattorinimi {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }(X_{i}-\mu )^{2}-({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.

Olettaen että

$\operaattorinnimi {E} [a+b]=\operaattorin nimi {E} [a]+\operaattorin nimi {E} [b]$ (matemaattisen odotuksen ominaisuus);
$\operaattorinimi {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}{\ bigg ]}=\sigma ^{2}$ - dispersio ;
$\operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}={\frac {1}{n}}\sigma ^{2 }$ , koska , ottaen huomioon sen ja ovat riippumattomia ja ts. , $\operaattorinimi {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}=\operaattorinimi {E} {\iso [}{\big (} {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu ){\big )}^{2}{\big ]}=\operaattorinimi {E } {\iso [}{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}+{\frac { 2}{n^{2))}\summa _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\ iso ]}$ $X_{i}$ $X_{j}$ $\operaattorinimi {E} {\big [}(X_{i}-\mu ){\big ]}=0$ ${\näyttötyyli \operaattorinimi {E} {\big [}\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\big ]}=\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}\operaattorinimi {E} {\iso [}(X_{i}-\mu ){\big ] }\operaattorinimi {E} {\big [}(X_{j}-\mu ){\big ]}=0}$

saamme:

{\begin{aligned}\operatorname {E} [S_{n}^{2}]&=\sigma ^{2}-\operaattorin nimi {E} {\big [}({\overline {X} }-\mu )^{2}{\big ]}=\\&=\sigma ^{2}-{\frac {1}{n))\sigma ^{2}=\\&={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}<\sigma ^{2}.\end{aligned}}

Kirjallisuutta ja viitteitä

MG Kendall. "Kehittynyt tilastoteoria (osa I). Jakautumisteoria (2. painos)". Charles Griffin & Company Limited, 1945.
MG Kendall ja A. Stuart. "Kehittynyt tilastoteoria (osa II). Päätelmä ja suhde (2. painos)". Charles Griffin & Company Limited, 1967.
A. Papoulis. Todennäköisyys, satunnaismuuttujat ja stokastiset prosessit (3. painos). McGrow-Hill Inc., 1991.
G. Saporta. "Todennäköisyys, analysoi des données et statistiques". Editions Technip, Pariisi, 1990.
JF Kenney ja ES Keeping. Tilastojen matematiikka. Osa I & II. D. Van Nostrand Company, Inc., 1961, 1959.
IV Blagouchine ja E. Moreau: "Neljännen kertaluvun kumulantin puolueettomat adaptiiviset arviot todellisen satunnaisen nollakeskiarvon signaalille", IEEE Transactions on Signal Processing , voi. 57, nro. 9, s. 3330–3346, syyskuu 2009.
Valaiseva vastaesimerkki