Täydellinen setti

Täydellinen joukko on suljettu joukko , jolla ei ole eristettyjä pisteitä , eli se osuu yhteen kaikkien rajapisteiden joukon kanssa.

Esimerkkejä

Klassinen esimerkki ei missään tiheästä, täydellisestä setistä on Cantor-setti .

Ominaisuudet

Millä tahansa ei-tyhjällä euklidisen avaruuden täydellisellä joukolla on jatkumon kardinaalisuus (yleistys Cantorin lauseesta, jonka mukaan jokaisella reaaliakselin segmentillä olevalla täydellisellä joukolla on jatkumon kardinaalisuus) [1] .
Minkä tahansa joukon kondensaatiopisteiden joukko on täydellinen.

Cantor-Bendixonin lause

Cantor-Bendixonin lause on väite minkä tahansa lukemattoman suljetun joukon rakenteesta . Tämä lause on yleistetty metrisen avaruuden osajoukkoihin, joilla on laskettava kanta (katso Lindelöfin lause )

Sanamuoto

Mikä tahansa lukematon suljettu joukko on sen kondensaatiopisteiden täydellisen joukon ja enintään muiden pisteiden laskettavan joukon summa. $M$

Todiste

Todistus perustuu kolmeen lauseeseen. Se seuraa lauseista 2 ja 3. Sen todistamiseksi riittää, kun huomataan, että kondensaatiopisteiden joukko johtuen . $N\subset M$ $M$

Lause 1

Jotta piste olisi joukon tiivistymispiste , on välttämätöntä ja riittävää, että mikä tahansa pisteen rationaalinen ympäristö sisältää lukemattoman määrän pisteitä . $a$ $M$ $a$ $M$

Selitykset

Pisteen rationaalinen lähialue on mikä tahansa väli, jonka rationaaliset päät sisältävät tämän pisteen ja joka ei välttämättä ole välin keskipiste. $a$

Todiste välttämättömyys

Antaa olla tiivistymispiste ja olla mielivaltainen rationaalinen naapuruuspiste . Valitaan . Silloin pisteen lähialue putoaa kokonaan . Koska on tiivistymispiste, niin , ja siten ja , sisältää lukemattoman määrän pisteitä . $a$ $(r',r'')$ $a$ $\delta <\min(|r'-a|,|r''-a|)$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $a$ $(r',r'')$ $a$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $(r',r'')$ $M$

Riittävyys

Olkoon mikä tahansa pisteen rationaalinen naapuruus sisältää lukemattoman määrän pisteitä . Harkitse mielivaltaista naapuruston pisteen ja anna ja on kaksi rationaalista numeroa sijaitsevat vastaavasti välillä ja ja välillä ja . Silloin naapurustossa putoaa täysin rationaalinen naapurusto ja sen mukana lukematon joukko pisteitä . Mutta tämä tarkoittaa, että siellä on kondensaatiopiste. $a$ $M$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $a$ $r'$ $r''$ $a-\delta$ $a$ $a$ $a+\delta$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $(r',r'')$ $M$ $a$

Lause 2 Sanamuoto

Jokainen lukematon joukko sisältää lukemattoman joukon kondensaatiopisteitään . $M$

Todiste

Antaa olla joukko pisteitä, jotka eivät ole joukon kondensaatiopisteitä . Jos , niin ei ole mitään todistettavaa. Anna ja . Koska se ei ole kondensaatiopiste, pisteellä on rationaalinen naapuruus , joka sisältää enintään laskettavan joukon pisteitä kohteesta , mukaan lukien pisteet . Siten koko joukko voidaan sulkea johonkin rationaalisten välien järjestelmään, joista jokainen sisältää enintään laskettavan määrän pisteitä . Koska kaikista rationaalisista intervalleista on olemassa laskettava joukko, tästä seuraa, että se on myös korkeintaan laskettavissa. Sitten — joukon kondensaatiopisteiden joukko on lukematon. $R$ $M$ $M$ $R=\varnothing$ $R\neq \varnothing$ $x \ in R$ $x$ $(r'_{x},r''_{x})$ $x$ $M$ $R$ $R$ $R$ $R$ $M\backslash R$ $M$

Lause 3 Sanamuoto

Lukemattoman joukon kondensaatiopisteiden joukko on täydellinen. $N$ $M$

Todiste

Osoittakaamme ensin, että se on suljettu. Olkoon ja mielivaltainen rationaalinen väli, joka sisältää pisteen . Riittävän pienellä aikavälillä väli jää kokonaan sisälle . Koska on rajapiste kondensaatiopisteiden joukolle, se sisältää ainakin yhden kondensaatiopisteen ja yhdessä sen kanssa jonkin pisteen naapuruston . Mutta sitten tämä naapuruus, ja siten myös , sisältää lukemattoman määrän pisteitä , ja koska on mielivaltainen rationaalinen naapuruus pisteestä , eli tiivistymispiste, eli . Osoitetaan, että se ei sisällä eristettyjä pisteitä. Antaa olla mielivaltainen pisteen ja olla mielivaltainen naapurustossa kohta . Sitten tämä naapurusto sisältää lukemattoman määrän pisteitä kohteesta . Harkitse lukematonta joukkoa . Lauseen 1 mukaan se sisältää lukemattoman määrän kondensaatiopisteitään. Jokainen kondensaatiopiste kohteelle on samalla kondensaatiopiste kohteelle . Siksi lukematon joukko pisteitä , ja siten ei ole tämän joukon eristetty piste, pääsee sisälle. $N$ $x\in N'$ $(r'_{x},r''_{x})$ $x$ $\delta$ $(x-\delta ,x+\delta )$ $(r'_{x},r''_{x})$ $x$ $(x-\delta ,x+\delta )$ $x_{{0}}$ $x_{{0}}$ $(r'_{x},r''_{x})$ $M$ $(r'_{x},r''_{x})$ $x$ $x$ $x\in N$ $N$ $x_{{0}}$ $N$ $(x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$ $x_{{0}}$ $M$ $M_{1}=M\cap (x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$ $M_{{1}}$ $M$ $(x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$ $N$ $x_{{0}}$

Muistiinpanot

↑ Shilov G.E. Matemaattinen analyysi. Erikoiskurssi. - M .: Nauka, 1961. - S. 65. - 436 s.

Kirjallisuus

Sobolev VI Luennot matemaattisen analyysin lisäluvuista. - M .: Nauka, 1968. - S. 79.