Konjugoidut numerot

Konjugaattiluvut ( kompleksikonjugaattiluvut ) ovat pari kompleksilukuja , joilla on samat reaaliosat ja samat absoluuttisesti , mutta vastakkaiset etumerkillä, imaginaariosat [1] . Esimerkiksi numerot ja ovat konjugoituja . Numeron konjugaatti on merkitty . Yleisessä tapauksessa konjugaatti numeroon (jossa ja ovat reaalilukuja ) on . $3+4i$ $3-4i$ $z$ $\overline{z}$ ${\näyttötyyli z=a+ib}$ $a$ $b$ ${\overline {z}}=a-ib$

Esimerkiksi:

{\overline {(3-2i)))=3+2i

{\overline {7}}=7

{\overline {i}}=-i.

Kompleksitasolla konjugoituja lukuja edustavat pisteet, jotka ovat symmetrisiä todellisen akselin suhteen. Polaarisessa koordinaattijärjestelmässä konjugaattiluvuilla on muoto ja , mikä seuraa suoraan Eulerin kaavasta . ${\displaystyle re^{i\phi ))$ ${\displaystyle re^{-i\phi ))$

Konjugaattiluvut ovat toisen asteen yhtälön juuria, joissa on todelliset kertoimet ja negatiivinen diskriminantti.

Ominaisuudet

Mielivaltaisille kompleksiluvuille ja : $z$ $w$

${\overline {(z\pm w)}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}$ ,
${\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}$
${\overline {z}}=z\Leftrightarrow z$ on todellinen luku,
${\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}$ kaikille kokonaisluvuille , $n$
$\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$ ,
${\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z$ ,
${\overline {\overline {z}}}=z$ (eli konjugaatio on involuutio ),
${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}({\left|z\right|}^{2))))$ jos ei ole nolla. Tätä ominaisuutta käytetään suorakaiteen muotoisina koordinaatteina annetun kompleksiluvun käänteisluvun laskemiseen. $z$

Jos on holomorfinen funktio , jonka rajoitus reaalilukujen joukkoon on reaalifunktio, ja se on määritelty , niin: $\phi$ ${\näyttötyyli \phi (z)}$

\phi ({\overline {z)))={\overline {\phi (z)))

Erityisesti:

$\exp({\overline {z)))={\overline {\exp(z)))$
$\log({\overline {z)))={\overline {\log(z)))$ jos ei ole nolla. $z$
jos on polynomi todellisilla kertoimilla ja , niin myös , eli tällaisten polynomien kompleksiset (ei todelliset) juuret muodostavat aina kompleksisia konjugaattipareja. $s$ $p(z)=0$ $p({\overline {z)))=0$

Luvun ja konjugaation koordinaattien määrittäminen

Kompleksiluvun suorakulmaiset ja napakoordinaatit voidaan määrittää käyttämällä kaavoja:

$x=\operaattorin nimi {Re} \,(z)=(z+{\overline {z)))/2$
$y=\operaattorinimi {Im} \,(z)=(z-{\overline {z)))/2i$
$\rho =\left|z\right|={\sqrt {z\cdot {\overline {z))))$
$e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z))))$ (jos ei ole nolla). $z$

Muistiinpanot

↑ Weisstein, Eric W. Complex Conjugates Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Kirjallisuus

Shabat BV Johdatus monimutkaiseen analyysiin. — M .: Nauka , 1969. — 577 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani