Stokastinen matriisi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 22. marraskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Stokastinen matriisi on todennäköisyysteoriassa ei -negatiivinen matriisi , jossa minkä tahansa rivin tai minkä tahansa sarakkeen alkioiden summa on yhtä suuri kuin yksi.

Määritelmät

Matriisia kutsutaan oikeaksi stokastiseksi (tai yksinkertaisesti stokastiseksi), jos $P=(P_{{ij}}),\;i,j=1,2,\ldots$

P_{{ij}}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots

ja .

\sum \limits _{{j=1}}^{{\infty }}P_{{ij}}=1,\quad \forall i

Matriisia kutsutaan vasemmaksi stokastiseksi , jos

P_{{ij}}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots

ja .

\sum \limits _{{i=1}}^{{\infty }}P_{{ij}}=1,\quad \forall j

Matriisia kutsutaan kaksoisstokastiseksi , jos se on vasen ja oikea stokastinen.

Huomautus

Oikea stokastinen matriisi on siirtymän todennäköisyysmatriisi jollekin Markov-ketjulle .

Ominaisuudet

Jos ja ovat kaksi vasenta (oikea, kahdesti) stokastista matriisia, niin niiden tulo on myös vasen (oikea, kahdesti) stokastinen matriisi. $P$ $K$ $R = PQ$

Säännöllinen stokastinen matriisi

Äärillistä stokastista matriisia kutsutaan säännölliseksi , jos sellainen on olemassa $P=(P_{{ij}}),\;i,j=1,\ldots ,N$ $n\in \mathbb {N}$

p_{{ij}}^{{(n)}}>0,\quad \forall i,j=1,\ldots ,N

missä ovat matriisin th potenssin alkiot eli . $p_{{ij}}^{{(n)}}$ $n$ $P$ $P^{n}=\vasen(p_{{ij}}^{{(n)}}\oikea)$

Ergodinen lause

Jos on säännöllinen stokastinen matriisi, niin on olemassa sellainen vektori , että $P$ ${\mathbf {\pi }}=(\pi _{1},\ldots ,\pi _{N})$

P^{n}\to {\mathbf {1}}^{{\top }}{\mathbf {\pi }}

missä on yksiköistä koostuva ulottuvuusvektori . ${\mathbf {1}}=(1,\lpisteet ,1)$ $1\times N$