Ramanujan summat

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25. maaliskuuta 2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Ramanujan - summat ovat trigonometrisiä summia , jotka riippuvat kahdesta kokonaislukuparametrista ja , muotoa: $k$ $n$

c_{k}(n)=\sum _{h}\cos \left({\frac {2\pi nh}{k))\right)=\sum _{h}\exp \left( {\frac {2\pi nhi}{k}}\right),

missä ja . ${\displaystyle h<k,\;h\in \mathbb {Z} _{0))$ $(h,\;k)=1$

Ramanujan-summien pääominaisuus on niiden multiplicatiivisuus indeksin suhteen , ts. $k$

c_{kk'}(n)=c_{k}(n)c_{k'}(n),

jos . $(k,\;k')=1$

Summat voidaan esittää Möbius-funktiolla : $c_{k}(n)$ $\mu$

c_{k}(n)=\sum _{d\setminus (k,\;n)}\mu \left({\frac {k}{d))\right)d.

Ramanujan-summat ovat rajoittuneet rajoittetulle joko , tai . Joten esimerkiksi . $k$ $n$ $c_{k}(1)=1$

Ramanujan-summien soveltaminen

Monet luonnollisen argumentin kertovat funktiot voidaan laajentaa sarjaksi . Päinvastoin on myös totta. $c_{k}(n)$

Summien pääominaisuuksien avulla voit laskea lomakkeen summat:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{n^{s))}f(n),\quad \sum _{k=1 }^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s))}f(k),

missä on kertova funktio , on kokonaisluku , on yleensä monimutkainen. $f(n)$ $q$ $s$

Yksinkertaisimmassa tapauksessa voi saada

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s))}={\frac {\sigma _{1-s}( n)}{\zeta (s)))),

missä on Riemannin zeta-funktio , on luvun jakajien potenssien summa . $\zeta (s)$ $\sigma _{k}(n)$ $k$ $n$

Tällaiset summat liittyvät läheisesti joidenkin lukuteorian additiivisten ongelmien erityissarjoihin , kuten luonnollisten lukujen esittämiseen parillisena neliömääränä. Kohdassa [1] on annettu monia kaavoja, jotka sisältävät nämä summat.

Kirjallisuus

Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1918. - v. 22.-s. 259-276.
Hardy GH Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. - v. 20.- s. 263-271.
Ramanujan S. Kerätyt paperit. - Cambridge, 1927. - s. 137-141.
Volkmann B. Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1974. - Bd 271. - S. 203-213.
Titchmarsh, E. K. Riemannin Zeta-funktion teoria. - Cherepovets: Mercury-Press, 2000. - 407 s. — ISBN 5114800906 . .
Levin V. I. Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - osa 13. - M .: VINITI , 1960.