Cauchyn keskiarvon lause

Cauchyn keskiarvolause on äärellisten inkrementtien kaavan yleistys .

Sanamuoto

Olkoon kaksi funktiota ja annetaan sellainen, että:

1. ja ovat määriteltyjä ja jatkuvia välissä ;
2. derivaatat ja ovat määriteltyjä ja äärellisiä välillä ;
3. derivaatta ei katoa väliin (siis Rollen lauseen mukaan , ).

Sitten on olemassa , joka on totta:

Muistiinpanot

• Kun sitä nimenomaisesti vaaditaan , voimme heikentää ehtoa 3 ja vaatia vain sitä, emmekä katoa samanaikaisesti väliltä .
• Voit jättää ehdon 3 kokonaan pois kirjoittamalla kaavan uudelleen seuraavasti: .
• Geometrisesti lause voidaan muotoilla uudelleen seuraavasti: jos ja tason liikkeen laki on asetettu (eli abskissa ja ordinaatta määritetään parametrilla ), niin missä tahansa tällaisen käyrän segmentissä, joka on määritelty parametreilla ja , on olemassa tangenttivektori, joka on kollineaarinen siirtymävektorin kanssa välillä - .

Todiste

Tämän todistamiseksi esittelemme funktion

On helppo nähdä, että Rollen lauseen ehdot täyttyvät sille. Tämän lauseen avulla saamme, että on piste , jossa funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla:

Siirtämällä tämän yhtälön toista termiä oikealle, saadaan kaava lauseen yleisimmästä formulaatiosta.

Alkuperäisessä muotoilussa on jäljellä jakaa yhtäläisyys ja . Molemmat luvut ovat nollasta poikkeavia, vaikka vaatimusta 3 lievennetään yhteisten nollien puuttumiseen arvolle ja : tämä vaaditaan eksplisiittisesti, ja jos , niin

.

Mutta koska , tästä seuraa, että se on ristiriidassa ehdon kanssa.

Kirjallisuus

• Cauchyn keskiarvon lause Encyclopedia of Mathematicsissa