Cauchyn keskiarvolause on äärellisten inkrementtien kaavan yleistys .
Olkoon kaksi funktiota ja annetaan sellainen, että:
Sitten on olemassa , joka on totta:
Tämän todistamiseksi esittelemme funktion
On helppo nähdä, että Rollen lauseen ehdot täyttyvät sille. Tämän lauseen avulla saamme, että on piste , jossa funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla:
Siirtämällä tämän yhtälön toista termiä oikealle, saadaan kaava lauseen yleisimmästä formulaatiosta.
Alkuperäisessä muotoilussa on jäljellä jakaa yhtäläisyys ja . Molemmat luvut ovat nollasta poikkeavia, vaikka vaatimusta 3 lievennetään yhteisten nollien puuttumiseen arvolle ja : tämä vaaditaan eksplisiittisesti, ja jos , niin
. |
Mutta koska , tästä seuraa, että se on ristiriidassa ehdon kanssa.