Hadamardin potenssisarjalause

Hadamardin potenssisarjalause (myös Cauchy-Hadamard -lause ) on lause, joka antaa arvion potenssisarjojen konvergenssisäteestä joissakin tapauksissa. Nimetty ranskalaisten matemaatikoiden Cauchyn ja Hadamardin mukaan . Lauseen julkaisi Cauchy vuonna 1821 [1] , mutta se jäi huomaamatta, kunnes Hadamard löysi sen uudelleen [2] . Hadamard julkaisi tuloksen vuonna 1888 [3] . Hän sisällytti sen myös väitöskirjaansa vuonna 1892 [4] .

Sanamuoto

Antaa olla potenssisarja konvergenssisäteellä . Sitten: ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu ))$ $R$

$(\alpha)$ jos yläraja on olemassa ja se on positiivinen, niin ; $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ $R={\frac {1}{\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|))))$

$(\beta)$ jos , niin ; $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0$ $R=+\infty$

$(\gamma)$ jos ylärajaa ei ole , niin . $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ $R = 0$

Todiste

$(\alpha)$ Anna . $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\in (0;+\infty )$

Jos piste on sellainen, että , niin on mahdollista löytää sellainen luku , joka pätee lähes kaikkiin . Tästä epäyhtälöstä seuraa, että geometrinen progressio on sarjan suppeneva majorantti , eli . $z \in \mathbb C$ $|z-z_{0}|<{\frac {1}{\lambda ))$ $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|} <1$ $q<1$ $\nu$ ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}<q\,$ ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }q^{\nu ))$ $\sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|$ $R={\frac {1}{\lambda ))$

Jos päinvastoin, kohta täyttää ehdon , niin äärettömälle numerojoukolle , . Siksi sarja jossain pisteessä poikkeaa, koska sen termit eivät yleensä ole nolla. $z \in \mathbb C$ $|z-z_{0}|>{\frac {1}{\lambda ))$ $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }({\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\cdot |z-z_{0}|)>1$ $\nu$ $|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|\geqslant 1$ $\sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }|$ $z$

$(\beta)$ Anna . Sitten kullekin sarja konvergoi nollaan. Siksi, jos valitsemme luvun , niin epäyhtälö pätee lähes kaikkiin numeroihin , joista, kuten kohdassa , seuraa, että sarja konvergoi kohdassa . Muodollisesti . $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0$ $z \in \mathbb C$ ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}$ $q=q(z)\in (0;1)$ $\nu$ $|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|<q^{\nu }$ $(\alpha)$ $z$ $R={\frac {1}{+0}}=+\infty$

$(\gamma)$ Sillä (eli muodollisesti ) ei ole ylärajaa , jos ja vain jos sekvenssi on ylhäältä päin rajaton. Jos , niin sekvenssi on myös rajoittamaton . Siksi sarja eroaa kohdassa . On huomattava, että , sarja konvergoi . Lopuksi (eli muodollisesti , itse asiassa ). $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ $\mathbb {R}$ $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=+\infty \in {\overline {\ mathbb {R} }}$ ${\sqrt[ {\nu }]{|a_{{\nu }}|}}$ ${\displaystyle z\neq z_{0))$ ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}$ ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu ))$ ${\displaystyle z\neq z_{0))$ ${\näyttötyyli z=z_{0))$ ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu ))$ $a_{0}$ $R=0$ $R={\frac {1}{+\infty }}=+0$ $R=\varliminf \limits _{\nu \to +\infty }{\frac {1}{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}=0$

Muistiinpanot

↑ Cauchy, A.L. (1821), Analyze algébrique .
↑ Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass , Springer-Verlag, s. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0 . Kääntäjä englanniksi italiasta Warren Van Egmond.
↑ Hadamard, J. , Sur le rayon de convergence des series ordonnées suivant les puissances d'une variable, CR Acad. sci. Paris T. 106: 259–262 .
↑ Hadamard, J. (1892), Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 4 e Série T. VIII , < https://archive.org/details/essaisurltuded0>0haisurltuded0 . Myös julkaisussa Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques , Pariisi: Gauthier-Villars et fils, 1892.

Kirjallisuus

Grauert G., Lieb I., Fisher W. Differentiaali- ja integraalilaskenta, M., Mir, 1971