Laplacen lause

Laplacen lause on yksi lineaarisen algebran lauseista . Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon Pierre-Simon Laplacen (1749 - 1827) mukaan, jonka ansioksi luetaan tämän lauseen laatija vuonna 1772 [1] , vaikka tämän lauseen erikoistapaus determinantin laajentamisesta rivissä (sarakkeessa) oli Jopa Leibniz tuntee .

Sanamuoto

Ensin esitellään joitakin määritelmiä.

Antaa olla matriisi koon , ja anna matriisin rivit numeroilla ja sarakkeet numeroilla valita . $A=(a_{{ij}})$ $n\ kertaa n$ $k$ $A$ ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k))$ $k$ ${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k))$

Matriisin determinanttia , joka saadaan poistamalla kaikki rivit ja sarakkeet, paitsi valitut, kutsutaan kertaluvun molliksi , joka sijaitsee numeroilla ja sarakkeissa numeroilla . Se on merkitty seuraavasti: $A$ $k$ ${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k))$ ${\displaystyle j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k))$

M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{1}j_{ 1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\lpisteet &a_{i_{1}j_{k}}\\\vpisteet &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet \\a_{i_{k}j_ {1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\lpisteet &a_{i_{k}j_{k}}\end{pmatrix}}.

Ja matriisin determinanttia, joka saadaan poistamalla vain valitut rivit ja sarakkeet neliömatriisista, kutsutaan lisämolliksi molliin : $M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$

{\overline {M}}_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin {pmatrix}a_{i_{k+1}j_{k+1}}&a_{i_{k+1}j_{k+2}}&\lpisteet &a_{i_{k+1}j_{n}}\ \\vpisteet &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet \\a_{i_{n}j_{k+1}}&a_{i_{n}j_{k+2}}&\lpisteet &a_{i_{n}j_ {n}}\end{pmatrix}},

missä ja ovat valitsemattomien rivien ja sarakkeiden lukumäärät. ${\displaystyle i_{k+1}<\ldots <i_{n))$ ${\displaystyle j_{k+1}<\ldots <j_{n))$

Mollin algebrallinen komplementti määritellään seuraavasti: $M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}$

A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=(-1)^{p+q}{\overline {M} }_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}

missä ,. _ ${\displaystyle p=i_{1}+\ldots +i_{k))$ ${\displaystyle q=j_{1}+\ldots +j_{k))$

Seuraava väite on totta.

Laplacen lause

Olkoon mitkä tahansa matriisin rivit valitaan . Tällöin matriisin determinantti on yhtä suuri kuin näillä riveillä sijaitsevien :nnen kertaluvun ala-arvojen ja niiden algebrallisten komplementtien kaikkien mahdollisten tulojen summa .

k

A

A

k

\det A=\sum _{j_{1}<\ldots <j_{k}}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_ {k}}A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}},

jossa summaus suoritetaan kaikille mahdollisille sarakenumeroille

j_{1},\ldots ,j_{k}.

Alaikäisten määrä, jolta summa otetaan Laplacen lauseessa, on yhtä suuri kuin kuinka monta tapaa valita sarakkeita joukosta , eli binomikerroin . $k$ $n$ ${\displaystyle \textstyle {n \choose k))$

Koska matriisin rivit ja sarakkeet ovat ekvivalentteja determinantin ominaisuuksien suhteen, Laplacen lause voidaan muotoilla myös matriisin sarakkeille.

Esimerkkejä

Harkitse neliömatriisia

A={\begin{bmatrix}5&9&1&3\\3&5&0&0\\67&932&1&2\\1&7&0&0\end{bmatrix)).

Valitaan toinen ja neljäs rivi ja laajennetaan tämän matriisin determinanttia käyttäen Laplacen lausetta. Huomaa, että näillä riveillä kaikki toisen asteen ala-arvot, paitsi , sisältävät nolla saraketta, eli joiden tiedetään olevan nollia, eivätkä ne vaikuta lauseen summaan. Joten määräävä tekijä on: ${\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}$

|A|=(-1)^{2+4+1+2}\cdot {\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\ 1&2\end{vmatrix}}=(-1)\cdot 16\cdot (-1)=16

Yllä olevasta esimerkistä voidaan nähdä, että Laplacen lause yksinkertaistaa ei kaikkien matriisien determinanttien laskemista, vaan vain erikoismuotoisten matriisien determinanttien laskemista. Siksi käytännössä käytetään useammin muita menetelmiä, esimerkiksi Gaussin menetelmää . Lausetta sovelletaan enemmän teoreettisiin tutkimuksiin.

Determinantin rivin (sarakkeen) laajennus (Seuraus 1)

Laplacen lauseen erikoistapaus tunnetaan laajalti - determinantin laajennus rivissä tai sarakkeessa. Sen avulla voit esittää neliömatriisin determinantin minkä tahansa sen rivin tai sarakkeen elementtien ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summana .

Antaa olla neliömatriisi, jonka koko on . Olkoon myös jokin matriisin rivi- tai sarakenumero . Sitten determinantti voidaan laskea seuraavilla kaavoilla: $A=(a_{ij})$ $n\ kertaa n$ $i$ $j$ $A$ $A$

Jaottelu -. rivillä $i$ :

\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}

Jaottelu sarakkeen $j$ mukaan :

{\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij))

missä on alarivin algebrallinen komplementti numerolla ja sarakkeessa numerolla . kutsutaan myös algebrallisen elementin komplementiksi . $A_{{ij}}$ $i$ $j$ $A_{{ij}}$ $a_{{ij}}$

Lause on Laplacen lauseen erikoistapaus. Riittää, kun asetat sen arvoksi 1 ja valitset -:nnen rivin, jolloin tällä rivillä olevat ala-arvot ovat itse elementtejä. $k$ $i$

Esimerkkejä

Harkitse neliömatriisia

A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}.

Laajennetaan determinanttia matriisin ensimmäisen rivin elementeillä:

|A|=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}=1\cpiste (-3)-2\cpiste (-6)+3\cpiste (-3)=0.

(Huomaa, että ensimmäisen rivin toisen elementin algebrallinen komplementti on negatiivinen.)

Determinanttia voidaan myös laajentaa esimerkiksi toisen sarakkeen elementeillä:

|A|=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\ cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.

Seuraus 2 (determinantin väärä laajennus)

Matriisin jonkin rivin (sarakkeen) kaikkien elementtien ja minkä tahansa muun rivin (sarakkeen) vastaavien alkioiden algebrallisten komplementtien tulojen summa on nolla. $A$

Todiste

Tarkastellaan matriisin mielivaltaisen -: nnen rivin kaikkien elementtien tulojen ja minkä tahansa muun, esimerkiksi matriisin -:nnen rivin vastaavien elementtien algebrallisten komplementtien summaa . Antaa olla matriisi, jossa kaikki rivit paitsi -: s rivi ovat samat kuin matriisin , ja matriisin -: nnen rivin elementit ovat vastaavia matriisin -: nnen rivin elementtejä . Silloin matriisissa on kaksi identtistä riviä ja siksi matriisin ominaisuuden perusteella identtisiä rivejä kohtaan meillä on . Toisaalta päätelmän 1 mukaan determinantti on yhtä suuri kuin matriisin i:nnen rivin kaikkien alkioiden ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa. Huomaa, että matriisin -:nnen rivin elementtien algebralliset komplementit ovat yhtäpitäviä matriisin -: nnen rivin vastaavien elementtien algebrallisten komplementtien kanssa . Mutta matriisin -:nnen rivin elementit ovat vastaavia matriisin -: nnen rivin elementtejä . Siten matriisin -:nnen rivin kaikkien alkioiden ja niiden algebrallisten komplementtien tulojen summa on toisaalta yhtä suuri kuin nolla ja toisaalta se on yhtä suuri kuin kaikkien matriisin tulojen summa. matriisin -:nnen rivin elementit ja matriisin - : nnen rivin vastaavien elementtien algebralliset komplementit . $k$ $A$ $i$ $A$ $A'$ $i$ $A$ $i$ $A'$ $k$ $A$ $A'$ $\det A'=0$ $\det A'$ $i$ $A'$ $i$ $A'$ $i$ $A$ $i$ $A'$ $k$ $A$ $i$ $A'$ $k$ $A$ $i$ $A$

Muistiinpanot

↑ Smith, DE Projekti Gutenbergin modernin matematiikan historia . — P. 18. Arkistoitu 16. syyskuuta 2009 Wayback Machinessa

Kirjallisuus

Iljin, V. A. , Poznyak, E. G. Lineaarinen algebra . - 6. painos - M . : Fizmatlit, 2005. - S. 25 -27. - ISBN 5-9221-0481-0 .
Prasolov, VV Lineaarialgebran tehtävät ja lauseet . - 2. painos - M. , 2008. - S. 42-45.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. — M .: Fizmatlit , 2009. — S. 374-376.